Multiplicación en hipersuperficies cúbicas y grupos parcialmente definidos

Question

Dejemos que $V$ sea una hipersuperficie cúbica proyectiva general. Haciendo literalmente como en el caso de las curvas cúbicas definimos una relación sobre $V\times V\times V$ : $(x,y,z)$ la satisfacen si $x+y+z$ es una intersección de $V$ con una línea. A diferencia del caso unidimensional, esta relación no es un gráfico de una operación binaria ( $x^2$ no está definido o dos puntos pueden estar en la línea contenida en $V$ ). A partir de ahora consideremos sólo los pares $(x,y)$ para lo cual $z$ tiene una definición única (es decir $(x,y,z)$ están en una línea y hay una $z$ lo denotamos por $x\circ z$ ). Elijamos algunos $u$ (que será la "unidad") y definir el producto como de costumbre $xy=u\circ (x\circ y)$ . Sin embargo, este producto parcialmente definido puede ser no asociativo en el siguiente sentido hay $x,y,z$ tal que $$x(yz)\neq(xy)z$$ donde $yz$ , $xy$ , $x(yz)$ y $(xy)z$ están definidos de forma única.

¿Existen ejemplos de estas triplas no asociativas?

Answer 1

He aquí un ejemplo explícito sobre los racionales.

Considere la superficie cúbica diagonal de Clebsch dado por $\sum_{i=0}^4 X_i = 0$ y $\sum_{i=0}^4 X_i^3 = 0$ . Permítanme tomar el punto $u := (0:0:0:1:-1)$ para que $x \mapsto u\circ x$ toma $(X_0:X_1:X_2:X_3:X_4)$ a $(X_0:X_1:X_2:X_4:X_3)$ proporcionado $X_3 + X_4 \neq 0$ .

Dejemos que $x := (1, 0, -1, -1, 1)$ y $y := (1, -2, 0, -1, 2)$ y $z := (1, 0, 3, -1, -3)$ . Entonces tenemos $xy = (1, 2, -2, 0, -1)$ y $(xy)z = (18, 26, -11, -28, -5)$ mientras que $yz = (5, -6, 6, 0, -5)$ y $x(yz) = (8, -18, 25, -22, 7)$ . Estos son, en efecto, diferentes.

Para comprobar mis cálculos, basta con comprobar que los puntos en cuestión satisfacen las ecuaciones de la cúbica de Clebsch, que los tripletes anunciados están efectivamente alineados (por ejemplo, $x$ , $y$ y $x\circ y = u\circ(xy)$ son efectivamente dependientes linealmente), y que no hay dos que se encuentren en una de las conocidas líneas de la cúbica de Clebsch. (Obsérvese que $x$ está en una línea con $u$ pero usted no lo prohibió y no necesitamos computar $u\circ x$ .)

Intenté encontrar un ejemplo con alturas menores, pero los puntos de altura pequeña tienen una fuerte tendencia a situarse en las líneas. Sin embargo, no me esforcé mucho.

PD: Puedo proporcionar un poco de código Sage para calcular composiciones en la cúbica de Clebsch si quieres (probablemente no sea muy robusto, pero me permitió encontrar este ejemplo).