Tangente inversa en relación con el seno y el coseno

Question

Si ${\tan\theta}=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ ¿Cuál sería la función si en lugar de $\tan\theta$ fuera $\tan^{-1}\theta$ ?

Lo pregunto porque no estoy seguro de una explicación que vi en este video (en el código de tiempo dado), donde muestra la relación entre el $m$ la pendiente de una línea, y $\tan\theta$ . Su ejemplo muestra cómo $m=\tan\theta$ y cómo si $m = -1$ entonces $\tan^{-1}(-1)=\theta$ . Ese proceso lo entiendo. Después, pregunta si en lugar de $m$ = $\frac{1}{2}$ . A menos que me equivoque, creo que el proceso es diferente con una mitad.

Creo que esta pregunta está preguntando algo similar, aunque en lugar de esa respuesta dada, estoy pensando en que la respuesta se puede mostrar con el círculo unitario.

Answer 1

Si $x$ es un número, entonces $\tan^{-1}(x)$ significa el ángulo entre $-\frac{\pi}{2}$ y $+\frac{\pi}{2}$ cuya tangente es $x$ .

Para un ángulo en posición estándar (vértice en el origen, lado inicial el $x$ -eje) la tangente del ángulo es igual a la pendiente del lado terminal del ángulo. Esto es cierto para todos los ángulos, no sólo para los del intervalo $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ .

Así que $\tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$ significa el ángulo en el intervalo $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ cuyo lado terminal tiene pendiente $\left(\frac{1}{2}\right)$ .