Función continua uniforme

Question

Dejemos que $f(x)=x\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$ . ¿Es la función uniformemente continua en el intervalo $[-1,1)$ y $[0,1)$ . Sé que tengo que utilizar el teorema de Cantor pero el intervalo no es cerrado y acotado? ¿Cómo hacerlo? Y otra pregunta: Si el intervalo incluye $$ or $ -$ ¿cómo demostrar si es uniformemente continua o no?

Tal vez esta pregunta sea trivial, pero he empezado a estudiarla ahora. Gracias.

Answer 1

Supongamos que $f$ es uniformemente continua. Entonces hay alguna $\delta > 0$ tal que $$ | x - y | < \delta \implies | f(x) - f(y) | < 1. $$

Ahora $f$ está acotado en la compacta $[-1, 1 - \frac{\delta}{2}]$ . Pero la fórmula anterior muestra que, para todo $x \in (1- \frac{\delta}{2}, 1)$ , $$f(x) \in (f(1-\frac{\delta}{2}) -1,f(1-\frac{\delta}{2}) +1),$$

para que $f$ está acotado en $[-1,1)$ . Pero un cálculo fácil muestra que $\lim_{x \to 1} f(x) = \infty$ . ¡Contradicción!