¿Se puede demostrar que esta estadística no es suficiente para $\theta$ ?

Question

Este problema viene de Casella y Berger que no demuestran rigurosamente (en su clave de solución) que la estadística no es suficiente.

Dejemos que $X_1,\dots,X_n$ sea una muestra aleatoria de una población con PDF $f(x|\theta)=\theta x^{\theta-1} \cdot 1_{\{x\in(0,1)\}}$ para $\theta>0$ . Demostrar que $\sum_i X_i$ no es suficiente para $\theta$ .

Si escribe el PDF $p(\vec{x}|\theta)$ de la muestra aleatoria, está claro por el teorema de la factorización que $\prod_i X_i$ o $\sum_i \log(X_i)$ son suficientes para $\theta$ el PDF $p$ también sugiere $\sum_i X_i$ es no suficiente para $\theta$ . Sin embargo, para demostrarlo con rigor, debemos analizar $p(\vec{x},\theta)/q(T(\vec{x},\theta)$ , donde $p$ es la distribución de la muestra $\vec{x}$ , $q$ es la distribución de la estadística $T(\vec{X})=\sum_i X_i$ .

Pero encontrar la distribución de $T(X)=\sum_i X_i$ parece poco práctico. He observado que $f$ es la PDF de un Beta( $\theta$ ,1), pero comprobando en Internet, la distribución de la suma de variables aleatorias Beta no parece tener una forma cerrada. ¿Hay alguna vía alternativa (por ejemplo, demostrar que no hay una factorización que implique $T(\vec{X})$ )? ¿Omitió C&B una explicación completa que $\sum_i X_i$ no es suficiente porque no existe ninguno en realidad?

Answer 1

Permite que queramos probar $U=\sum X_i$ no es una estadística suficiente.

1) Encontrar un mínimo suficiente ( $T=\prod X_i$ )

2)Demuestre que el mínimo suficiente no es una función de $U$

3)Comparar con el hecho de que una estadística mínima suficiente es una función de cualquier estadística suficiente. Por lo tanto, concluye $U$ no es una estadística suficiente.

Tenga en cuenta que $T$ es una función de $U$ si $U(a_1)=U(a_2 )$ $\Rightarrow T(a_1)=T(a_2)$ . Así que basta con encontrar dos puntos $a_1$ y $a_2$ que $U(a_1)= U(a_2)$ pero $T(a_1)\neq T(a_2)$ y por lo tanto $T$ no es una función de $U$ y por lo tanto $U$ no es una estadística suficiente.

Por otro lado dejemos que $T$ es una estadística mínima suficiente. $U$ no es una estadística suficiente si existen dos puntos $a_1,a_2$ tal que

$U(a_1)=U(a_2)$ pero $T(a_1)\neq T(a_2)$

véase este y este .

Para $n=2$

$a_1=(\frac{1}{2} , \frac{1}{2})$ , $a_2=(\frac{1}{4} , \frac{3}{4})$

$U(a_1)=U(a_2)=1$ pero $\frac{1}{4}=T(a_1)\neq T(a_2)=\frac{3}{16}$ .