Demuestre que si $X_n$ y $Y_n$ son variables aleatorias independientes para $1 \le n \le \infty$ , $X_n \Rightarrow X_{\infty}$ y $Y_n \Rightarrow Y_{\infty}$ alors $X_n + Y_n \Rightarrow X_{\infty} + Y_{\infty}$ . Donde $\Rightarrow$ significa converger débilmente o converger en la distribución.
Se agradece cualquier idea.
Creo que lo tengo:
Desde $X_n \Rightarrow X_{\infty}$ y $Y_n \Rightarrow Y_{\infty}$ tenemos $\varphi_{X_n}(t) \to \varphi_{X_\infty}(t)$ para todo t, y $\varphi_{Y_n}(t) \to \varphi_{Y_\infty}(t)$ para todos $t$ por el teorema de continuidad. Y así $$ \varphi_{X_n + Y_n} (t) = \varphi_{X_n} (t) \varphi_{Y_n}(t) \to \varphi_{X_\infty}(t)\varphi_{Y_\infty}(t) = \varphi_{X_\infty + Y_\infty}(t)$$ para todos $t$ . Dado que ambos $\varphi_{X_\infty} (t)$ y $\varphi_{Y_\infty}(t)$ son continuas en $0$ , $\varphi_{X_\infty + Y_\infty} (t)$ es continua en $0$ . Por lo tanto, por el teorema de continuidad tenemos $X_n + Y_n \Rightarrow X_\infty + Y_\infty$ .
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