¿De qué es una generalización del lema de Yoneda?

Question

¿De qué es una generalización del lema de Yoneda?

Busco ejemplos que se conocieran antes de que la teoría de las categorías entrara en escena resp. que puedan ser conocidos por los estudiantes antes de que empiecen con la teoría de las categorías.

Son bienvenidos los comentarios de por qué los siguientes candidatos son buenos o malos.

Se agradecen más ejemplos.

Candidato #1: Axioma de extensionalidad (para conjuntos)

Un conjunto está determinado de forma única/se puede recuperar a partir de sus elementos.

Candidato nº 2: Completaciones Dedekind (para posets)

Una terminación de un poset S es el conjunto de sus subconjuntos cerrados hacia abajo, ordenados por inclusión. S se ordena por inclusión en este entramado enviando cada elemento x al ideal que genera.

Candidato #3: Teorema de representación de Stone (para álgebras booleanas)

Toda álgebra booleana B es isomorfa al álgebra de subconjuntos cerrados de su espacio de Stone S(B).

Candidato #4: Teorema de Cayley (para grupos)

Todo grupo G es isomorfo a un subgrupo del grupo simétrico en G.

Answer 1

Bill Lawvere se ha referido a él como el lema de Cayley-Dedekind-Grothendieck-Yoneda, que es pegadizo pero sólo consigue incluir los números 2 y 4. Supongo que puedo ver lo que tienes en mente con el número 1, pero el número 3 (Stone) me desconcierta. ¿En qué estás pensando?

Aquí hay otra. Es el lema de Yoneda en el caso de categorías de un solo objeto, es decir, monoides. Sea $M$ sea un monoide, y escriba $\tilde{M}$ para su representación regular izquierda. Entonces para cualquier izquierda $M$ -Configurar $X$ hay una biyección natural entre los elementos de $X$ y mapas $\tilde{M} \to X$ de $M$ -sets.

No sé cuántas personas conocen las gavillas antes de las categorías, pero aquí hay otro ejemplo. Fijar un espacio topológico $X$ . Para cada conjunto abierto $U$ tenemos una preforma (de conjuntos) $\tilde{U}$ que toma el valor $\{*\}$ en subconjuntos abiertos de $U$ y $\emptyset$ en conjuntos abiertos que no son subconjuntos de $U$ . Entonces, para cualquier presheaf $F$ en $X$ hay una biyección natural entre los elementos de $F(U)$ y mapas $\tilde{U} \to X$ de presheaves.

Answer 2

El (débil) Nullstellansatz: Si $A$ es una entidad finitamente generada $\mathbb{C}$ -álgebra, entonces $A$ es el anillo cero si y sólo si $\mathrm{Hom}(A, \mathbb{C})$ está vacía.

En general, si $A$ y $B$ son generados finitamente $\mathbb{C}$ -sin nilpotentes, entonces un mapa $A \to B$ está determinada por el mapa $\mathrm{Hom}(B, \mathbb{C}) \to \mathrm{Hom}(A, \mathbb{C})$ que induce.

Answer 3

Me gusta ver el lema de Yoneda como una generalización de la descripción de las coberturas de Galois en topología. Para cualquier functor $F: C \to Set$ podemos asociar su categoría de elementos $El(F)$ . Sus objetos son pares $(x,a)$ , $a\in C$ , $x\in F(a)$ . Un morfismo $f:(x,a)\to (y,b)$ es un morfismo $f_*: a \to b$ , de tal manera que $F(f_*)(x) = y$ . Tal categoría está dotada de una proyección natural $Q_F : El(F) \to C$ , enviando $(x,a)$ a $a\in C$ y un morfismo en $El(F)$ al morfismo subyacente en $C$ . Entonces es fácil ver que una transformación natural $\mu: (p;\cdot) \to F(\cdot)$ es lo mismo que un morfismo de fibrados sobre $C$ $$\int \mu: El(p;\cdot) \simeq p/C \to El(F)$$

Este es un ejemplo de la construcción de Grothendieck, aplicada a los funtores valorados por conjuntos. Se trata de una versión categórica de la correspondencia entre gavillas de conjuntos y sus espacios etale en geometría algebraica.

Considere por ejemplo $Nat[(p;\cdot);(p;\cdot)]$ . Por el lema de Yoneda es igual a $Hom_C(p;p)$ . Esta es exactamente la fibra de $p/C$ en $C$ bajo la construcción de Grothendieck para $(p;\cdot)$ . Todo el automorfismo de $(p;\cdot)$ se determina así por la imagen de $1:p\to p$ . Esto recuerda que un automorfismo de cobertura de Galois se define de forma única eligiendo la imagen de un elemento de la fibra, por lo que $$Aut(M\stackrel{p}{\to} N) = p^{-1}(x),\;x\in N$$

Un morfismo de coberturas de Galois $f:X\to Y$ con $X$ conectada está igualmente determinada de forma única (si existe) eligiendo algún elemento de una fibra de $Y$ . Si $X$ es contractible, entonces siempre existe un morfismo. Esto significa que las categorías de trozos $p/C \to C$ son, en realidad, similares a las fibraciones contractibles. No sé hasta dónde llega la analogía, pero a través del functor de espacios clasificatorios, las categorías de rodajas realmente mapean a los espacios contráctiles, porque tienen objetos iniciales.

Answer 4

para los gráficos

Cada nodo de un grafo contable está determinado hasta la conjugación por una vecindad suficientemente grande (subgrafo conectado inducido que contiene el nodo señalado).

Answer 5

La dualidad Tannaka es esencialmente aplicar Yoneda dos veces. Así que un caso especial de la dualidad de Tannaka que no requiere el lema de Yoneda sería la dualidad de Pontryagin.