Demostrar que $\mathcal P(A \cap B)=\mathcal P(A) \cap \mathcal P (B)$

Question

Probablemente sea un problema fácil, pero esta vez no estoy entendiendo estos conceptos.

El problema comienza con:

Dejemos que $\mathcal{P}(A)$ denota el conjunto $\{ x ~|~ x \subseteq A \}$

Lo que creo que es correcto y que puedo decir de la expresión anterior es que $x$ es un subconjunto de A.

Y luego tenemos una serie de preguntas, por ejemplo la primera:

Demostrar que $\mathcal{P}(A \cap B) = \mathcal{P}(A) \cap \mathcal{P}(B)$ demostrando que las declaraciones $x \in \mathcal{P}(A \cap B)$ y $x \in \mathcal{P}(A) \cap \mathcal{P} (B)$ son equivalentes.

Lo único que se me ocurre es sustituir la expresión $\mathcal{P}(A \cap B) $ con su equivalente de este $\{ x ~|~ x \subseteq A \}$ Pero no entiendo muy bien el proceso y la lógica...

Answer 1

Vas en la dirección correcta. $\mathcal{P}(A) = \{x | x \subseteq A \}$ Así que simplemente sustituyendo los símbolos vemos $\mathcal{P}(A \cap B) = \{x | x \subseteq A \cap B\}$ . Así que se le pide que relacione $$\{x | x \subseteq A \cap B\}$$ A $\mathcal{P}(A) \cap \mathcal{P}(B)$ que es $$\{x | x \in \mathcal{P}(A) \text{ and } x \in \mathcal{P}(B)\}$$ ¿Te ayuda esto a ponerte en marcha?

edit: Quiero comentar que normalmente para demostrar que dos conjuntos son iguales el enfoque infalible es demostrar que son subconjuntos el uno del otro. Jugar con las "reglas" de un conjunto para demostrar que es equivalente a otro debería darte toda la información que necesitas para hacerlo, pero si quieres poner los puntos sobre las íes para esto deberías mostrar la relación de cada subconjunto.

Answer 2

insinuación: para llegar desde $$ \{x|x⊆A∩B\} $$

a $$ \{x|x∈P(A) \text{ and }x∈P(B)\} $$

La propiedad $$ X\subset Y \iff X\cup Y = Y $$ puede ser útil.

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solución: $$\begin{align} \{x|x∈P(A) \text{ and }x∈P(B)\} &= \{x|x\subset A \text{ and }x\subset B\}\\ &= \{x|x\cup A = A \text{ and }x\cup B = B\}\\ &= \{x|x\cup A \cup B = A\cup B\}\\ &= \{x|x⊆A∩B\} \end{align}$$