¿Son todas las secuencias convergentes acotadas y monótonas?

Question

Conozco el teorema de convergencia monótona, pero ¿significa esto que las secuencias convergen sólo si están acotadas y son monótonas?

Answer 1

¿Qué pasa con la secuencia

$$\frac{(-1)^n}n\quad ?$$

Answer 2

Si una secuencia es convergente entonces está acotada ( Una pista: tomar $\epsilon = 1$ ).

Y $$\bigg(\frac{1}{2}, \frac{1}{2^2} , \frac{1}{3}, \frac{1}{3^2}, \ldots\bigg)$$ converge pero no es monótona.

Answer 3

Si una secuencia $(x_n)$ converge está acotado (debes probarlo mostrando que cada elemento, excepto un número finito de ellos, de la secuencia está a una distancia a lo sumo $1$ del límite y luego concluir).

Pero por otro lado, si $x_n:=\frac{(-1)^n}{n}$ $(n\geq 1$ ) entonces la secuencia pasa a $0$ en el infinito, pero no es monótona.

Answer 4

En general, se puede elegir alguna secuencia de Cauchy $\{a_n\}$ en $\mathbb R$ que se alterna, o "salta". A continuación, $\{a_n\}$ está acotado y converge pero no es monótono.

Por ejemplo:

$\{a_n\} = \frac 1n$ para impar $n$ , $0$ para incluso $n$

$\{b_n\} = \frac 1 {n^2} \sin (n) $