No sé qué Toën estaba hablando, pero tengo la sospecha de que se trataba de la finitud condiciones para Artin pilas: el problema es que la costumbre de finitud condiciones miramos a los regímenes de pensiones (como la noción de constructibility para la l-ádico poleas) no se extienden a las pilas de una manera directa, que da algunos problemas si uno quiere contar los puntos
(es decir, para definir cosas como Euler características). Algunas nociones de lo finito que se han desarrollado para definir Grothendieck anillos de Artin pilas (por ejemplo, en Toën del papel arXiv:0509098 y en Ekedahl del papel arXiv:0903.3143), que puede ser realizado por nuestro favorito cohomologies (l-ádico, Hodge, etc), pero el enlace con una buena noción de lo finito, para las categorías de los coeficientes de más de Artin pilas (l-ádico poleas, la variación de la mezcla de estructuras de Hodge) no parecen ser plenamente comprendido sin embargo, al menos conceptualmente (y por mí).
Como para finitud condiciones de poleas (en algunos homotopical contexto), el tipo de propiedades que puede ser que desee mirar son de la siguiente forma.
Considere la posibilidad de una variedad de favorito tipo X, y un derivado de la categoría D(X) de las poleas más
algunos de los sitio S asociadas a X (por ejemplo, abrir o étale, liso o subvariedades de más de X etc.).
Por ejemplo, D(X) podría ser la homotopy categoría de la categoría de modelos de simplicial gavillas, o la derivada de la categoría de gavillas de R-módulos.
Importante finitud propiedades se puede expresar diciendo que para cualquier U en el sitio S,
tenemos
(1) hocolimᵢ RΓ(U,Fᵢ)= RΓ(U,hocolimᵢ Fᵢ)
donde {Fᵢ} es un filtrado diagrama de coeficientes. Si usted está en un contexto, a continuación,
usted puede mirar los objetos compactos en D(X), es decir, los objetos de Una de D(X) tales que
(2) hocolimᵢ RHom(A,Fᵢ)= RHom(A,hocolimᵢ Fᵢ)
para cualquier filtrada diagrama {Fᵢ}. En las buenas situaciones, la condición (1) implica que la categoría de objetos compactos coincidirá con edificable objetos (es decir, el más pequeño de la subcategoría de D(X) estable bajo finito homotopy colimits finito (significado: indexados por el parque natural posets) que contiene el registro de los objetos).
Las condiciones suficientes para obtener (1) son los siguientes:
a) Para simplicial poleas (así como gavillas de espectros o de R-módulos...), una condición suficiente es que la topología en S se define por una unidad de cd-estructura en el sentido de Voevodsky (ver arXiv:0805.4578). Estos incluyen la topología de Zariski, el Nisnevich topología, así como la topología de la cdh (siendo este último generado por Nisnevich revestimientos así como por blow-ups en un buen sentido), al menos si trabajamos con noetherian esquemas de dimensión finita. Tenga en cuenta también que las topologías asociadas a la cd de estructuras de definir lo que Morel y Voevodsky llamar a un sitio de finito tipo (en el idioma de Lurie, esto significa que, para estos sitios, la noción de descenso es la misma que la noción de hyperdescent: descenso infinito-pilas de más de S pueden ser probados usando sólo truncada hypercoverings; esta es la cuestión debatida por David Ben Zvi arriba).
En la práctica, la existencia de una estructura del cd le permite expresar (hiper)descenso utilizando sólo de Mayer-Vietoris-como el largo exacto de secuencias (el caso de la topología de Zariski fue descubierto en los años 70 por Brown y Gersten, y la utilizaron para probar Zariski descenso para algebraica de K-teoría).
b) Para los complejos de gavillas de R-módulos, un conjunto suficiente de condiciones
i) el sitio S es coherente (en el sentido de SGA4).
ii) cualquier objeto de la página S es finito cohomological dimensión (con coeficientes en R).
La idea de la prueba (1) bajo el supuesto b) es que demuestra en primer lugar cuando todos los Fᵢ se concentra en el grado 0 (esto se hace en SGA4 bajo el supuesto b)i)).
Esto implica que el resultado cuando el Fᵢ son uniformemente acotada. A continuación, se usa el hecho de que, en virtud de la condición b)ii), la Leray espectral de la secuencia converge fuertemente, incluso para unbounded complejos (este hecho en el principio de que el papel de Suslin y Voevodsky "Bloch-Kato conjetura y motivic cohomology con finito de coeficientes").
Esto funciona, por ejemplo, para étale gavillas de R-módulos, donde R=Z/n, con n prime a los residuales de características. Nota además de que, en la deriva de la categoría de R-módulos, los objetos compactos (es decir, los complejos de Un satisfactorio (2)) son, precisamente, el perfecto complejos.
El hecho de que los seis Grothendieck operaciones conserva constructibility puede luego ser traducido en la finitud de cohomology grupos (nota, sin embargo, que la noción de constructiblity es más complejo que esto en general: si trabajamos con l-ádico poleas
(con Ekedahl de la construcción, por ejemplo), entonces la noción de constructiblity no está de acuerdo con la compacidad). Sin embargo, la condición (1) se conserva después de tomar el Verdier cociente de D(X) por cualquier espesor de la subcategoría de T obtenido como el menor espesor de la subcategoría que es cerrado bajo sumas pequeñas y que contiene una determinada pequeño conjunto de objetos compactos de D(X) (esto es Thomason del teorema). Esta es la forma tan bonito propiedades de sobrevivir en el contexto de homotopy la teoría de los esquemas, por ejemplo.
Tenga en cuenta también que, en un establo (nidos) contexto, la condición (2), implica que tenemos la misma propiedad, pero sin necesidad de los diagramas {Fᵢ} para ser filtrado.
Para tu segunda pregunta, la extensión de un cohomology la teoría a la simplicial variedades es automática (siempre que el cohomology está dada por un complejo de presheaves), al menos si tenemos suficiente espacio para tomar homotopy límites, que es generalmente el caso (y no es difícil a la fuerza si es necesario). El único problema es que usted puede perder la finitud condiciones, a menos que pruebe que su favorito simplicial objeto de Un satisface (2). El hecho de que Hironaka la resolución de singularidades da la buena construcción (es decir, da buena objetos para abrir y/o singular variedades) puede ser expained por la finitud de las propiedades relacionadas con el descenso por blow-ups (es decir, la cdh descenso), pero los argumentos que se necesitan para este uso firmemente que trabajamos en un contexto estable (no conozco ningún argumento como este para simplicial poleas). La difusa idea es que si un cohomology teoría satisface Nisnevich descenso y homotopy invariancia, entonces se satisface la cdh descenso (hay una muy agradable general de la prueba de esto en Voevodsky del papel arXiv:0805.4576 (thm 4.2, donde se ve que se necesita para ser capaz de desuspend)); a continuación, gracias a Hironaka, a nivel local para la hdc de topología, cualquier plan es el complemento de un estricto normal cruce divisor en un proyectiva y la variedad lisa. Como cdh topología tiene buena finitud propiedades (a saber,)), y como
cualquier k-esquema de la finitos tipo es coherente en la cdh topos, esto explica, a grandes rasgos, ¿por qué obtenemos extensiones de nuestro cohomology teorías (como se tenía un buen conocimiento de suave y variedades proyectivas). Si trabajamos con coeficientes racionales, el mismo principio se aplica a los regímenes de pensiones a través de una excelente noetherian esquema S de dimensión menor o igual a 2, el uso de de Jong resultados en lugar de Hironaka, y la sustitución de la cdh de la topología de la h topología (el último que se obtienen de la cdh de la topología mediante la adición de finito surjective morfismos): es entonces suficiente para tener un buen control de la adecuada regular S-esquemas.
