Superficies de triangulación

Question

Algunos estudiantes de licenciatura me han pedido referencias sobre el hecho clásico (debido a Rado) de que las superficies topológicas cerradas pueden ser trianguladas. Conozco dos fuentes para ello: el libro de Ahlfors sobre superficies de Riemann y el libro de Moise "Geometric topology in dimensions 2 and 3". Ambos me parecen demasiado para un estudiante brillante. Pregunta: en los más de 30 años transcurridos desde el libro de Moise, ¿hay alguien que haya escrito un relato más accesible?

Answer 1

[Tres años después ]

Todas las pruebas publicadas de triangulabilidad de superficies que conozco utilizan el teorema de Schoenflies, que no es precisamente algo fácil de demostrar. Sin embargo, hay otra línea de demostración que evita el teorema de Schoenflies y en su lugar utiliza el truco del toro de Kirby que subyace en la teoría de Kirby-Siebenmann en dimensiones superiores. Hay un artículo de 1974 de A.J.S.Hamilton que ofrece pruebas mucho más sencillas de los teoremas de Moise sobre la triangulabilidad de los 3 manifolds utilizando el truco del toro, y las mismas ideas pueden aplicarse de forma aún más sencilla para las superficies. En lugar del teorema de Schoenflies se necesitan algunos resultados sobre superficies estrictamente en la categoría PL (o suave si se prefiere). En concreto, hay que saber que las estructuras PL son únicas hasta el homeomorfismo PL en los cuatro casos siguientes: $S^1\times S^1$ , $S^1\times{\mathbb R}$ , $[0,1]\times{\mathbb R}$ y $D^2$ . Pueden considerarse como casos especiales del teorema de clasificación habitual para superficies PL compactas, ampliado para incluir algunos casos no compactos.

No he visto esta prueba en la literatura, así que la he redactado como un breve documento expositivo "The Kirby torus trick for surfaces" y lo he publicado en el arXiv ici Trabajando en la categoría suave en lugar de la categoría PL.

No está claro hasta qué punto esta prueba sería adecuada para un curso de grado. Además de los ingredientes mencionados anteriormente, también se necesita un poco de teoría básica del espacio de cobertura. Si uno tuviera la suerte de haber cubierto ya estas cosas, entonces esta demostración podría ser accesible para los estudiantes de grado. Por otra parte, podría ser interesante probar el teorema de Schoenflies, a menudo citado pero raramente probado. (A este respecto, podría mencionar un artículo de Larry Siebenmann sobre el teorema de Schoenflies en la Russian Math Surveys de 2005, en el que se ofrece la historia y una demostración).

Answer 2

Prueba esto libro por Jean Gallier y Diana Xu. Está dirigido a estudiantes universitarios y contiene una buena descripción de la demostración elemental del teorema de la triangulación de Thomassen en el último apéndice. También se puede remitir a los estudiantes al artículo original de Thomassen, que también es bastante legible.

Answer 3

Si te parece bien dar un paso más y suponer una estructura suave, el argumento estándar de Whitehead es el siguiente: toma una incrustación suave de tu colector (de cualquier dimensión) en el espacio euclidiano. Triangula el espacio euclidiano, perturba la incrustación para hacerla transversal al esqueleto de la triangulación. Refina la triangulación (subdivisión baricéntrica) hasta el punto en que la incrustación "parezca lineal" en cada simplex de la dimensión superior. Las triangulaciones de los símiles se convierten en una descomposición poliédrica del colector, que se puede subdividir para que sea una triangulación.

Si se insiste en dar un paso más hacia las variedades topológicas, se podría suavizar la estructura topológica. Creo que gran parte de ese argumento aparece en el libro de geometría y topología tridimensional de Thurston, pero no lo tengo en casa en este momento y no lo recuerdo.

Answer 4

Hay un libro de geometría diferencial para estudiantes de Christian Baer (en la Universidad de Potsdam, Alemania) de próxima aparición que es muy bueno; da una explicación cuidadosa de este teorema y una demostración muy accesible. Si el libro no está disponible públicamente, debería estarlo pronto.

Answer 5

No se trata de una respuesta que apunte a una explicación más reciente y accesible de la triangulabilidad de las superficies, sino de una forma de hacer más accesible la explicación del primer capítulo del libro de Ahlfors y Sario, si se dispone de tiempo suficiente. Hay que tener en cuenta que la prueba dada por Ahlfors y Sario funciona para todo superficies (conectadas, 2º contable): compactas o no compactas; con o sin límite. Describiré las dificultades que encontré en la presentación de Ahlfors y Sario y cómo se pueden mitigar estas dificultades, especialmente si el aprendizaje de este material es por autoestudio, como fue mi caso, y no en el contexto de un curso universitario. Descargo de responsabilidad: soy matemático pero no topólogo.

Encontré tres dificultades principales, todas ellas derivadas del estilo de escritura escueto de Ahlfors y Sario. La primera dificultad es la ausencia de referencias para el material de fondo. Me pareció que el libro clásico y autocontenido, Elementos de la topología de los conjuntos planos de puntos (2ª ed.), de M.H.A. Newman, y las dos primeras secciones del tercer capítulo del libro, Topología algebraica de E. Spanier (para los fundamentos de la teoría de los complejos simpliciales abstractos), proporcionan antecedentes suficientes. La segunda dificultad es que casi todas las frases se parecen al enunciado de un lema cuya demostración se deja al lector. La tercera dificultad es que se omite intencionadamente la demostración de un resultado bastante difícil, el "46C".

En cuanto a la segunda y tercera dificultad: después de completar los detalles que faltaban, decidí redactarlos en forma de lista de notas (en lugar de un artículo). A continuación, creé un sitio web en el que he publicado estas notas. En ellas se incluye una demostración del resultado "46C" que se basa en gran medida en el material del libro citado de Newman. Aunque no me he esforzado por conseguir una eficiencia o elegancia matemática óptima, quizá mis notas sean útiles para otros, para hacer más accesible el relato de Ahlfors y Sario.

Mientras estaba en ello, también publiqué algunos detalles para una demostración del Teorema de Schoenflies a través del Análisis Complejo; estos son detalles para la presentación en el libro, Comportamiento de los límites de los mapas conformes por C. Pommerenke. Obsérvese que esta demostración supone el Teorema del Mapa de Riemann, cuyas pruebas están más disponibles. (Estas notas se escribieron antes de que yo conociera el libro de Newman, que casualmente también contiene una demostración del Teorema de Schoenflies, una demostración de naturaleza puramente topológica. Como se menciona en la respuesta de Allen Hatcher, una relación histórica de las pruebas del Teorema de Schoenflies, incluida una nueva en ese momento, apareció en el papel y su errata . Una preimpresión del artículo está disponible gratuitamente ici .)

Un recuento cuidadoso de todo el material necesario para el enfoque de Ahlfors y Sario, revela que es una cantidad muy sustancial. Aunque tal prueba de la triangulabilidad de las superficies puede hacerse accesible a los estudiantes de grado, no está claro si un estudiante que se embarca en tal proyecto de auto-estudio seguirá siendo un estudiante de grado al terminar el proyecto.