Si $A\subset\{1,11,21,31,...,541,551\}$ tal que $\forall x,y\in A: x+y\ne 552$ entonces $|A|\le28$

Question

Dejemos que $A\subset\{1,11,21,31,...,541,551\}$ de manera que no haya dos elementos de $A$ suman $552$ . Entonces demuestre que $A$ no puede tener más de $28$ elementos.

Dejemos que $S=\{1,11,21,31,...,541,551\}$ De ahí que $|S|=56$ . Entonces seguramente $A\le56$ Pero, ¿cómo es que $A\le\frac{56}{2}$ debido a la segunda restricción de la pregunta? Cualquier pista será genial. Además, ¿hay una presentación combinatoria equivalente del problema?

Generalizando, si $A\subset\{a,a+d,a+2d,...,a+nd\}$ donde $a,n,d$ son números reales y no hay dos elementos de $A$ suman $a+nd+1$ entonces hace $|A|\le\frac{n+1}{2}$ ¿se mantiene?

EDITAR.

Después de hojear algunos libros, encontré que esta propiedad particular de un conjunto tiene un nombre. La definición formal es la siguiente,

Un conjunto $S$ de números enteros se llama sin suma si $x+y\ne S$ por cada $x,y\in S$ ( $x,y$ no son necesariamente distintos aquí).

Hubo este ejercicio particular en las aplicaciones de la Principio de encasillamiento preguntando cómo de grande es un subconjunto sin suma de $\{1,2,...,2n+1\}$ podría ser, pero no se menciona una progresión aritmética general de los elementos. La respuesta a esta pregunta fue $n+1$ donde la pista dada era casi la misma que la respuesta ya publicada aquí. Así que supongo que mi idea inicial de generalizar era errónea.

Answer 1

Tienes que $\frac{1+551}2=276$ y por lo tanto se puede dividir $S$ en dos conjuntos con $28$ elementos cada uno, como sigue: $$S_1=\{1,11,\dots,271\}, \quad S_2=\{281,282,\dots,551\}$$ con $28$ elementos cada uno. Ordenar $S_1$ en orden ascendente y $S_2$ en descenso y observe que $$s_1(j)+s_2(j)=552$$ para $j=1,2,\dots,28$ . Ahora bien, si $A$ tiene $29$ elementos o más, sabes que existe $1\le j\le 28$ tal que $$s_1(j),s_2(j)\in A$$

Answer 2

Considerar los conjuntos $$(1,551),(11,541),...,(271,281)$$

ahora para $$x+y\neq 552$$ max $27$ se puede seleccionar porque por pp fuera de $28$ uno al menos un par rompería la condición