Expectativa de una distancia en un triángulo

Question

Un punto $x$ se distribuye uniformemente en un triángulo isósceles con ángulo superior $\alpha$ ¿Cuál es la distancia esperada del punto $x$ al lado opuesto al ángulo $\alpha$ .

Answer 1

$$ f(x,y) = \frac1{ h^2 \tan \alpha}, \qquad {(y-h) \tan \alpha} \leq x \leq {(h-y) \tan \alpha} , 0 \leq y \leq h $$ $$ f(y) = \int f(x,y)dx = \frac{2(h-y)}{h^2}, \qquad 0 \leq y \leq h $$

$$ \mathbb{E}[y] = \int yf(y)dy= \frac h3 $$