Resolver $u_t+2u_x=0$

Question

Tengo que resolver: $u_t+2u_x=0,$ con $u(x,0)=x, x \ge 0$ y $u(0,t)=t, t \ge 0.$ Configurar $p=x-2t, q=t,$ Tengo $u_p=0,$ así que $u=f(p)=f(x-2t).$ Entonces no puedo aplicar los valores iniciales, necesito una ayuda

Answer 1

Sintetizando lo que ha hecho Cesareo y los comentarios de mattos, la idea general es que como sabemos que

$$u(x,t) = f(x-2t),$$

entonces aunque $x \geq 0$ y $t \geq 0$ (Estoy asumiendo que este es el dominio en el que estás resolviendo la ecuación, dados tus datos iniciales), $f$ puede seguir aceptando entradas negativas si $x < 2t$ .

Ahora, aplicamos los datos iniciales de la siguiente manera. Para $x \geq 0$ tenemos

$$u(x,0) = f(x - 2(0)) = f(x) = x$$

donde la última igualdad se obtiene sustituyendo los datos iniciales dados. Obsérvese que como esto sólo es cierto para $x \geq 0$ Esto significa que la función $f$ es básicamente $f(s) = s$ para $s \geq 0$ .

Para los demás datos iniciales, para $t \geq 0$ tenemos

$$u(0,t) = f(0 - 2t) = f(-2t) = t.$$

Tenga en cuenta que para este caso, estamos tratando con $t > 0$ y por lo tanto el argumento en $f$ es ahora negativo. Reescribiendo esto, tenemos que $f$ es básicamente $f(s) = -\frac{1}{2}s$ para $s \leq 0$ .

Resumiendo lo anterior, tenemos

$$u(x,t) = f(x - 2t) = \begin{cases} x - 2t &\text{ for } x - 2t \geq 0 \\ -\frac{1}{2}(x-2t) &\text{ for } x - 2t \leq 0\end{cases}. $$

Esto es consistente con la fórmula de Cesareo cuando se escribe con funciones de paso de Heaviside.

(Obsérvese que la fórmula es consistente en $x = 2t$ ya que ambos casos dan $f(0) = 0$ .)

Answer 2

Se puede resolver con la ayuda de la transformada de Laplace.

Después de la transformación tenemos

$$ s U(x,s)+2U_x(x,s)=x, \ \ U(0,s)= \frac{1}{s^2} $$

y resolver esta EDO para $x$ tenemos

$$ U(x,s) = \frac{s x+3 e^{-\frac{s x}{2}}-2}{s^2} $$

y después de la inversión

$$ u(x,t) = 3 \left(t-\frac{x}{2}\right) \theta \left(t-\frac{x}{2}\right)-2 t+x $$

donde $\theta(\cdot)$ es la función escalonada de Heaviside.

Answer 3

Aplicando las características que has encontrado $$ u(x,t)=f(x-2t)=u(x-2t,0)=u(0,t-x/2). $$ En las dos últimas expresiones, sólo una tiene ambas coordenadas no negativas. A continuación, aplica la condición de contorno adecuada

$$ u(x,t)=\begin{cases}x-2t&\text{for }x\ge 2t,\\t-x/2&\text{for }x<2t.\end{cases} $$