¿La probabilidad condicional es también probabilidad?

Question

Algunas reflexiones me llevan a la siguiente pregunta, que me impide la imprudente cálculo de la probabilidad condicional...

Como se define, la probabilidad condicional es:

$$ P(A|B)=P(A\cap B)/P(B). $$

Así, podemos ver que la probabilidad condicional es la relación de 2 probabilidades . Si consideramos la probabilidad condicional también como probabilidad, estamos diciendo literalmente que alguna cantidad describe lo mismo que su proporción. Esto es muy extraño porque cuando medimos la longitud, podemos decir que algo mide 2 metros y la otra cosa mide 5 metros. Pero no podemos considerar que 2/5 o 5/2 es lo mismo que 2 o 5 porque la relación 2/5 o 5/2 es sólo otro nivel de comparación según entiendo mientras que el 2 o el 5 es simplemente la comparación con la unidad.

Entonces, ¿por qué seguimos tratando la probabilidad condicional igual que la probabilidad ordinaria?

Me gustaría que alguien pudiera arrojar algo de luz sobre este asunto. ¿O hay algún otro ejemplo como este además de en la teoría de la probabilidad?

ADD 1

(Gracias por tantas respuestas).

Casi todas las respuestas hasta ahora tratan de convencerme de que la probabilidad es una proporción en sí misma. Y tanto la proporción como la razón de las proporciones son una proporción.

Personalmente, no he encontrado ninguna contradicción sobre la definición de probabilidad condicional en lo que respecta a la interpretación de la proporción Sin embargo, . Y parece que la proporción es el único reino donde la probabilidad es mathematically posible. Así que tomé que la gente generalize este teoría basada en la proporción a un ámbito mucho más amplio donde las cuestiones de probabilidad también surgen pero no se aplica ninguna matemática aparente (como el escenario del grado de creencia). El sólo lo que puedo encontrar para apoyar esto por ahora, es el Principio de permanencia de las formas equivalentes y la audacia de la naturaleza humana para la generalización matemática .

(No voy a cerrar esta pregunta a partir de ahora y se agradecen más opiniones).

Answer 1

Como ya han señalado los demás encuestados, la probabilidad ya se define como un cociente. Pero aquí hay otra cosa en la que hay que pensar.

Normalmente, cuando se toma el cociente de dos cantidades, el resultado se mide en las unidades del cociente de las unidades. Por ejemplo, si recorres 10 metros en 5 segundos, tu velocidad media es 10/5 metros por segundo .

Pero como la probabilidad se define como un cociente de dos cantidades que comparten la misma unidad, es adimensional. La probabilidad de sacar una cara (en un lanzamiento de una moneda justa) es la mitad. No es la mitad de un lanzamiento, ni la mitad de un probablemente (o 500 miliprobs, para el caso). Es sólo una mitad.

(Piensa en ello como el ratio a largo plazo: La proporción de cabezas será $n/2$ lanzamientos por $n$ lanzamientos. O, si se prefiere un enfoque más subjetivo, el precio justo de un billete que ganará un dólar si la moneda sale cara es medio dólar. La probabilidad se define, pues, como medio dólar por cada dólar, que de nuevo es sólo la mitad).

Automáticamente se da el caso de que la relación de probabilidades también es adimensional. Por tanto, el cociente de probabilidades tiene la misma unidad (es decir, nada) que una sola probabilidad. Esto contrasta fuertemente con, por ejemplo, la distancia, en la que el cociente de dos distancias es adimensional, y por lo tanto es evidentemente una cosa muy diferente a una sola distancia.

Answer 2

La definición formal de probabilidad ayuda a dilucidar esta confusión. Piénsese en ella como una medida de los elementos de los subconjuntos de un conjunto, de forma que el conjunto entero mida hasta uno. Más formalmente, estos son los axiomas de una probabilidad:

Dado un conjunto de muestras S, para cada subconjunto A, tenemos:

$1.P(A)\ge0$

$2.P(S) = 1$

$3.$ Para una secuencia finita o infinita de disyuntiva subconjuntos $A_ i$ : $P(\cup A_i)=\sum P(A_i)$

Así que puedes entender la probabilidad condicional como un simple cambio de tu conjunto de muestras S a uno más pequeño. Crearemos una nueva distribución de probabilidad que será proporcional a la anterior, pero el conjunto muestral será ahora B. ¿Cómo debe definirse esa nueva distribución de probabilidad? Bueno, obviamente la respuesta natural es:

$$P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}$$

Answer 3

Las probabilidades condicionales son probabilidades muy naturales. Preguntamos, dado que algún evento $B$ ha ocurrido, ¿cuál es la probabilidad de que $A$ ¿también ocurre? La respuesta es $\frac{P(A\cap B)}{P(B)} = P(A|B)$ .

Entonces, ¿por qué la probabilidad condicional es una probabilidad en primer lugar? Porque la función $P(-|B)$ define una medida de probabilidad.

Answer 4

En primer lugar, para tener un concepto de probabilidad, se necesita lo que se llama un espacio de muestra . Un espacio muestral es (a grandes rasgos) el conjunto de resultados individuales que pueden darse.

En segundo lugar, una probabilidad, a diferencia de una duración o un período de tiempo, se define explícitamente como un relación , por lo que no tiene unidades. Cuando se dice $P(A)$ la probabilidad de $A$ lo que realmente quieres decir es $$ \frac{\text{Number of ways } A \text{ can occur}}{\text{Total number of things that can occur}} $$ Puedes ver que, sean cuales sean las unidades, se anulan. Tienes un número de formas, dividido por otro número de formas, y -al igual que con los metros divididos por metros o los segundos divididos por segundos- las unidades desaparecen en el resultado final.

Entonces, ¿qué tiene que ver esto con la probabilidad condicional? La probabilidad condicional utiliza una espacio de muestra que lo que usabas antes. $P(A)$ toma como espacio muestral el conjunto de todos los resultados posibles. Pero $P(A|B)$ toma como muestra el espacio sólo aquellos resultados en los que $B$ se produce. Así que, $$ P(A|B) = \frac{\text{Number of ways } A \text{ and } B \text{ can occur}} {\text{Total number of ways } B \text{ can occur}} $$

es exactamente el mismo cálculo que hicimos para calcular $P(A)$ excepto que esta vez, sólo contamos los resultados en los que $B$ ocurre. Es decir, $P(A)$ , $P(A|B)$ , $P(A|C)$ etc. son realmente el mismo concepto el $|B$ o $|C$ es sólo una especificación para que el lector sepa de qué espacio muestral está hablando.

En resumen,

• Las probabilidades se definen como ratios Por lo tanto, por definición, no pueden tener unidades.

• $P(A)$ y $P(A|B)$ se diferencian únicamente en que utilizan un espacio muestral diferente.

Answer 5

Te recomiendo encarecidamente que leas "Probabilidad con Martingalas" de David Williams. En el capítulo 9 durante 3 páginas entenderás perfectamente qué es la probabilidad condicional, y por qué la necesitamos, por qué se llama "condicional"