Cambio de variable en la prueba de Hardy Littlewood

Question

Esto es parte de una prueba que trato de entender. Vamos a $Tf(x)$ sea la función maximal de Hardy Littlewood, $$Tf(x) = \sup_{r>0} \frac{1}{B(r,x)} \int_{B(r,x)} f(y) dy$$ y $E_\lambda = \{y: |Tf(y) |> \lambda \}.$ Entonces

$$\|Tf\|_p^p = \int_0^\infty p \lambda^{p-1} \nu(E_\lambda) d\lambda$$ aquí Esto parece un truco clásico de cambio de variables. Creo que he visto cosas similares antes, ¿puede alguien explicar o demostrar que esta cosa "obvia" es cierta? Gracias por la ayuda

Answer 1

Por el Teorema de Fubini, tenemos

\begin{align*} \int_{\mathbb{R}} |Tf|^p dx &= \int_{\mathbb{R}} \int_0^{|Tf(x)|} p \lambda^{p - 1} d\lambda dx \\ &= \int_{\mathbb{R}} \int_0^{\infty} p \lambda^{p - 1} \chi_{\{|Tf(x)| > \lambda\}}(\lambda, x) d\lambda dx \\ &= \int_0^{\infty} p \lambda^{p - 1} \int_{\mathbb{R}} \chi_{\{|Tf(x)| > \lambda\}}(\lambda, x) dx d\lambda \\ &= \int_0^{\infty} p \lambda^{p - 1} m(E_{\lambda}) d\lambda \end{align*}

como se desee.

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Para una buena referencia, eche un vistazo a las últimas secciones del capítulo $8$ en Rudin's Real & Complex Analysis, donde estudia las funciones de distribución.