Ayer en clase mi profesor me dijo que el operador del tiene una dirección pero no tiene valor propio (ya que es un operador). Así que no se puede llamar exactamente un vector. Pero en el cálculo vectorial vemos que div $\phi$ es el producto punto del operador del y $\phi$ . También en el cálculo del rizo utilizamos el producto cruzado con el operador del.
Si el operador no es un vector, ¿cómo podemos tener un producto punto o cruz del mismo? ¿Cuál es la dirección del operador?
La divergencia de un campo vectorial no es un producto punto genuino, y el rizo de un campo vectorial no es un producto cruzado genuino.
$\nabla \cdot \vec A$ es sólo una notación sugestiva que está diseñada para ayudarte a recordar cómo calcular la divergencia del campo vectorial $\vec A$ . La notación es agradable, porque mira como un producto punto, pero como dices $\nabla$ no es realmente un vector.
Si te sirve de ayuda, puedes utilizar la notación alternativa $$\operatorname{div}(\vec A) = \partial_x A_x + \partial_y A_y + \partial_z A_z$$
lo que hace más fácil ver que $\operatorname{div}(\bullet)$ es sólo un operador que come un campo vectorial y escupe un campo escalar. El rizo se puede definir de forma similar, aunque es un dolor de cabeza escribirlo en su totalidad.
En coordenadas cartesianas, los productos punto y cruz tienen este aspecto: $$\vec A \cdot \vec B = \sum_i A_i B_i$$ $$\left[\vec A \times \vec B\right]_i = \sum_{j,k}\epsilon_{ijk}A_jB_k$$
mientras que las operaciones de divergencia y rizado tienen este aspecto: $$\operatorname{div}(\vec B) = \sum_i \partial_i B_i$$ $$\big[\operatorname{curl}(\vec B)\big]_i = \sum_{j,k}\epsilon_{ijk} \partial_j B_k$$
La sorprendente similitud lleva a definir el operador vectorial $\nabla$ cuyos componentes son sólo las derivadas parciales ( $\nabla_i = \partial_i$ ). Sin embargo, como se ha señalado en los comentarios, esta similitud no suele mantenerse si se cambia a un nuevo sistema de coordenadas.
Por ejemplo, en coordenadas cilíndricas $(\rho,\phi,z)$ el producto punto de dos vectores se convierte en $$\vec A \cdot \vec B = A_\rho B_\rho + A_\phi B_\phi + A_z B_z$$ como antes, pero la divergencia se ve así:
$$\operatorname{div}(\vec B) = \frac{1}{\rho}\partial_\rho(\rho B_\rho) + \frac{1}{\rho}\partial_\phi B_\phi + \partial_z B_z$$
Me encanta esta pregunta y tenía mucha curiosidad al respecto, así que me basé en un vídeo de 3blue1brown para responderla con el siguiente vídeo. Yo diría que uno no entiende/aprecia completamente la divergencia, el rizo o las ecuaciones de Maxwell a menos que entienda esto. Esta es la versión resumida:
Esta conexión es difícil de conceptualizar porque, como has dicho, el operador del $\nabla ,$ no es un vector típico. Al igual que un parásito o un virus, no tiene sentido por sí solo y necesita un "huésped" sobre el que "operar". Aunque no se puede pensar en él como un vector real, se puede tratar como tal y utilizar los procesos estándar para los productos punto y cruz. Así se obtienen las ecuaciones de la divergencia y el rizo, como se muestra a continuación, que se reducen simplemente a encontrar 4 componentes: $\frac{\partial P}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial y}, \frac{\partial Q}{\partial x}, $ y $\frac{\partial P}{\partial y} $ .
Si su $\frac{\partial P}{\partial x} $ y $\frac{\partial Q}{\partial y} $ son positivos, esto significa que el $x$ y $y$ componentes de sus vectores se hacen más grandes cuando se mueven en el $x$ y $y$ respectivamente, lo que corresponde a una divergencia positiva. Si su $\frac{\partial Q}{\partial x} $ y $\frac{\partial P}{\partial y} $ son positivos y negativos, respectivamente, esto significa que el $y$ y $-x$ componentes de sus vectores se hacen más grandes cuando se mueven en el $x$ y $y$ dirección, respectivamente, que corresponde a la rotación en sentido contrario a las agujas del reloj, o rizo positivo.
El campo vectorial que se ilustra a continuación tiene un mayor positivo $\frac{\Delta P}{\Delta x}$ que su valor negativo $\frac{\Delta Q}{\Delta y}$ correspondiente a una divergencia ligeramente positiva. También tiene un valor positivo $\frac{\Delta Q}{\Delta x}, $ y negativo $\frac{\Delta P}{\Delta y}$ correspondiente a un rizo positivo (en sentido contrario a las agujas del reloj).
Intento explicar esto más claramente en el vídeo, si quieres verlo, y avísame si quieres seguir hablando. https://youtu.be/k7WyPNWerN0
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