Semiconductores - Energía y función de Fermi

Question

Según entiendo, la función de Fermi $$f(E) = \frac{1}{1+e^{(E-E_f)/(kT)}}$$ da la probabilidad de encontrar un electrón a una energía determinada en un material.

También tiene la siguiente propiedad : $$f(E_f+E_0) = 1 - f(E_f-E_0)$$ lo que significa que la probabilidad de encontrar un electrón a una energía $E_0$ por encima de $E_f$ (energía de Fermi) es igual a la probabilidad de no encontrarla una energía $E_0$ debajo de $E_f$ .

Es lógico entonces esperar que la energía de Fermi se encuentre entre la banda de valencia y la de conducción en un metal. Para los semiconductores, sin embargo, tengo algunas dificultades para razonar sobre la energía de Fermi. Estas son mis preguntas:

1. En un no dopado semiconductor, $E_f$ también está a medio camino entre la banda de valencia y la de conducción (en el bandgap). Sin embargo, si esta "teoría de Fermi" todavía se aplica, ¿no habría un probabilidad de encontrar un electrón inmediatamente por debajo y por encima $E_f$ contradiciendo con el hecho de que ningún electrón puede estar en el banda prohibida?
2. En un dopado semiconductor (digamos tipo n ) en $0$ $K$ , $E_f$ es todavía se sitúa por debajo pero más cerca de la banda de conducción. A medida que la temperatura aumenta, $E_f$ regresa a mitad de camino entre la valencia y banda de conducción. ¿Por qué?

P.D. : No me siento muy cómodo con la mecánica cuántica, así que agradecería que sus respuestas contuvieran lo menos posible de ella.

Answer 1

1) La función de Fermi te dice la probabilidad de que un estado con energía $E$ se llena. Sin embargo, ¡no garantiza que ese estado exista! Es cierto que no existen estados dentro de la banda prohibida (suponiendo un cristal perfecto).

Por lo tanto, no hay ninguna contradicción: la función de Fermi sólo se aplica si existe un estado, y los estados no existen en la brecha.

2) La energía de Fermi es definido a temperatura cero, por lo que no se puede hablar de que la energía de Fermi cambie en función de la temperatura. Lo que probablemente te interesa es el potencial químico $\mu$ que depende de la temperatura y como es igual a $E_f$ a temperatura cero. Si está interesado en temperaturas distintas de cero, necesita reemplazar $E_f$ con $\mu$ en su definición de la función de Fermi.*

$E_f$ tampoco necesita estar por debajo de la banda de conducción. Se puede dopar un semiconductor lo suficiente como para que la energía de Fermi esté en la banda de conducción ("dopaje degenerado").

No estoy seguro de por qué $\mu$ iría al centro de la brecha al aumentar la temperatura. No estoy seguro de que sea cierto. ¿Podría proporcionar algún contexto o una fuente?

EDIT: Ya veo por qué el potencial químico iría al punto medio del hueco, al menos para un semiconductor que no esté dopado degeneradamente. Una explicación es aquí . Puedo intentar ampliar la explicación si la página es confusa.

*(Dicho esto, incluso a temperatura no nula, la gente suele trabajar con $E_f$ en lugar de $\mu$ Cuando conviertes $E_f$ a una temperatura -la temperatura de Fermi- se obtienen temperaturas como 10.000 K para muchos materiales, y en comparación con eso, la temperatura ambiente bien podría ser el cero absoluto. Por esa razón, $E_f$ y $\mu$ a veces se usan indistintamente, aunque no deberían).

Answer 2

1) La razón por la que la energía de Fermi es intermedia (sólo es cierto si la banda de valencia y la de conducción tienen la misma relación de dispersión parabólica) es la siguiente : supongamos que tenemos N portadores en la banda de valencia a 0K y ahora consideramos T=5K. si un portador entra en la banda de conducción gracias a la generación térmica, debería generar un hueco en la banda de valencia. Nótese que se nota porque hay una probabilidad no despreciable de encontrar un portador en el band gap que habrá un portador allí. En efecto, el número de portadores en un nivel de energía $\varepsilon$ vienen dadas por : $n(\varepsilon) = f(\varepsilon)g(\varepsilon)$ donde g es la densidad de estados. Como g=0 en el hueco no puede haber cargas aunque hay una probabilidad no nula de encontrar un portador a esa energía a esa temperatura.