Puños geodésicos de los pantalones en un colector hiperbólico: ¿por qué son disjuntos?

Question

Estoy tratando de entender el celebrado Kahn-Markovic Inmersión de superficies casi geodésicas en una triple variedad hiperbólica cerrada . Hay algo probablemente muy básico que no puedo entender.

Tenemos $M^3= \mathbb{H}^3/\mathcal{G}$ una hiperbólica cerrada $3$ -manifold, donde $\mathcal{G}$ es un grupo kleiniano. Sea $\Pi^0$ sea un pantalón topológico con puños $C_0$ , $C_1$ y $C_2$ y que $\rho\colon\thinspace \pi_1(\Pi^0)\to \mathcal{G}\subset PSL(2,\mathbb{C})$ ser una representación fiel. Dejemos que $\gamma_i$ denota la geodésica en $M$ que representa la clase de conjugación de $\rho(C_i)$ sur $\mathcal{G}$ para $i=0,1,2$ (estos se convierten en puños para pares de pantalones que Kahn-Markovic construyen en el interior $M$ y se pegan para formar una superficie casi geodésica sumergida).

Pregunta : ¿Por qué son $\gamma_0$ , $\gamma_1$ y $\gamma_2$ ¿Desunidos?

Es esencial para la construcción que los puños sean efectivamente disjuntos, porque si se cruzan, las coordenadas complejas reducidas de Fenchel-Nielsen no existen (no hay "pie"). De hecho, Kahn y Markovic necesitan muchos pares de pantalones dentro de $M$ para coexistir, por lo que no entender por qué los puños no se cruzan ni siquiera para un solo par de pantalones es particularmente frustrante.

Answer 1

Este es un comentario extenso:

Como dice Misha, las geodésicas pueden ser inmersas en general, y de hecho los pantalones y las superficies que construyen serán en general muy inmersas (muchas auto-intersecciones).

Si quieres visualizar las geodésicas incrustadas, puedes imaginar las elevaciones al haz tangente unitario, o para un par de pantalones dado, se elevará a un pantalón incrustado en algún espacio de cobertura correspondiente a la imagen del grupo fundamental $\rho(\pi_1(\Pi^0))$ . Para entender los pies de $\gamma_i$ entonces puedes trabajar en este espacio de cobertura. Los pies estarán en los puntos de las geodésicas más cortas que conectan los tres componentes de la frontera por pares (costuras). Hay una involución canónica que envía $\gamma_i$ a su inversa, fijando las costuras, y así los pies quedan igualmente espaciados alrededor de cada geodésica. A continuación, proyecta toda la imagen hacia abajo en $M$ para conseguir los pies.