Estoy tratando de conciliar la definición de superficie definida mediante colectores frente a la fórmula clásica en $\mathbb{R^3}$ pero parece que Estoy fuera por una plaza .
En el Cálculo sobre Múltiples de Spivak, el área de la superficie se define como $\int_M dA$ donde $dA$ es una forma 2, a saber $dA = n_1 dy \wedge dz + n_2 dz \wedge dx + n_3 dx \wedge dy$ y $n= (n_1, n_2, n_3) $ es la normal que apunta hacia afuera. Se calcula la integral del colector "tirando" de la forma 2 hacia las coordenadas de parametrización.
La "fórmula clásica" a la que me refiero es $Area = \int_s |\frac{\partial G}{\partial u} \times \frac{\partial G}{\partial v}| dA$ donde $G(u,v)$ es una parametrización de la superficie, y $dA$ significa $du dv$ (no confundir con la definición anterior). Esta fórmula se encuentra al final de esta página: https://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcIII/ParametricSurfaces.aspx
El problema es que, para una superficie simple como una esfera, y otra superficie que he probado, siempre estoy fuera por un cuadrado. Aquí está el intento de encontrar el superficie de una esfera unitaria utilizando ambos métodos:
Parametrización con $G(\theta, \phi) = (\cos \theta \sin \phi, \sin \theta \sin \phi, \cos \phi)$ para $\theta \in [0, 2\pi]$ y $\phi \in [0, \pi]$ calculamos: $$dx = -\sin\theta \sin \phi d\theta + \cos \theta \cos \phi d\phi$$ $$dy = \cos \theta \sin d \theta + \sin \theta \cos \phi d \phi$$ $$dz = -\sin \phi d\phi$$
Por lo tanto, $$dx \wedge dy = - \sin \phi \cos \phi d \theta d\phi$$ $$dz \wedge dx = - \sin \theta \sin^2 \phi d\theta d \phi$$ $$ dy \wedge dz = - \cos \theta \sin ^2 \phi d \theta d \phi$$
Lo normal es que $n$ se calcula que es:
$$n_1 = - \cos \theta \sin ^2 \phi$$ $$n_2 = - \sin \theta \sin^2 \phi $$ $$n_3 = - \sin \phi \cos \phi $$
$n_3$ resulta ser idéntica a la función de coeficiente de $dx \wedge dy$ .
$n_2$ resulta ser idéntica a la función de coeficiente de $dz \wedge dx$ .
$n_1$ resulta ser idéntica a la función de coeficiente de $dy \wedge dz$ .
Así que entonces $\int_M dA = \int_{[0,\pi] \times [0,2\pi]} G^*(dA) = \int_0^{\pi} \int_{0}^{2\pi} (\sin^2 \phi \cos^2 \phi + \sin^2 \theta \sin^4 \phi + \cos^2 \theta \sin ^4 \phi )d \theta d\phi $ .
Este resultado está desviado por un cuadrado. La "fórmula clásica" tiene una raíz cuadrada adicional ya que estamos tomando la norma de $\frac{\partial G}{\partial u} \times \frac{\partial G}{\partial v}$ . Por lo tanto, según la fórmula clásica $Area = \int_s |\frac{\partial G}{\partial u} \times \frac{\partial G}{\partial v}| dA = \int_0^{\pi} \int_{0}^{2\pi} \sqrt{\sin^2 \phi \cos^2 \phi + \sin^2 \theta \sin^4 \phi + \cos^2 \theta \sin ^4 \phi} d \theta d\phi$ .
La solución con la raíz cuadrada es correcta. ¿Qué estoy haciendo mal con respecto al método del colector?
