La serie Maclaurin de $\exp(-ab^2 x^2+2abc x)$

Question

He estado buscando la serie Maclaurin de \begin{equation} f(x) = e^{-ab^2 x^2+2abc x}, \end{equation} para $a>0$ , $b\in\Bbb R$ y $c\in\Bbb R$ . Necesito la serie en la forma \begin{equation} f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}c_n x^n. \end{equation} No he podido encontrar una fuente para esto y sé que necesito una expresión para $D^n f(x)|_{x=0}$ . Parece que puede estar relacionado con los polinomios ortogonales. ¿Alguien conoce alguna fuente que tenga una expresión para esta serie y detalles sobre su radio de convergencia?

Answer 1

El resultado es $$\sum_{k\ge 0}\dfrac{(-ab^2)^k}{k!}x^{2k}\sum_{l\ge 0}\dfrac{(2abc)^l}{l!}x^l=\sum_{m\ge 0}c_m x^m,\,c_m:=\sum_{2k+l=m}\dfrac{(-ab^2)^k (2abc)^l}{k!l!}.$$

Answer 2

Completando el cuadrado se tiene: \begin{align} e^{-a b^2 x^2 + 2 a b c x} &= e^{-a ((b x)^2 - 2 (c)(b x) + c^2 - c^2} \\ &= e^{a c^2} \, e^{-a (b x -c)^2} \\ &= e^{a c^2} \, \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-a)^{n} \, (b x - c)^{2n}}{n!} \end{align}

Alternativamente, con el uso de los polinomios de Hermite generados por \begin{align} \sum_{n=0}^{\infty} H_{n}(x) \, \frac{t^{n}}{n!} = e^{- t^{2} + 2 x t} \end{align} se puede determinar que $$e^{- a b^2 x^2 + 2 a b c x} = \sum_{n=0}^{\infty} (\sqrt{a} \, b)^{n} \, H_{n}(\sqrt{a} \, c) \, \frac{x^{n}}{n!}.$$