Definición de "complejo simplicial"

Question

Cuando pienso en un "complejo simplicial", pienso en la realización geométrica de un conjunto simplicial (un objeto simplicial en la categoría de conjuntos). Me referiré a esto como "la primera definición".

Sin embargo, existe otra definición de "complejo simplicial", por ejemplo el de la wikipedia : es una colección $K$ de símiles tal que cualquier cara de cualquier símil en $K$ también está en $K$ y la intersección de dos símiles de $K$ es una cara de las dos simplices. También existe la noción de " complejo simplicial abstracto ", que es una colección de subconjuntos de $\{ 1, \dots, n \}$ que es cerrado bajo la operación de tomar subconjuntos. Estos tipos de complejos simpliciales también tienen sus correspondientes realizaciones geométricas como espacios topológicos. Me referiré a ambas definiciones como "la segunda definición".

La segunda definición parece razonable a primera vista, pero luego te encuentras rápidamente con algunas cosas horribles, como el hecho de que triangular incluso algo sencillo como un toroide requiere un número ridículo de símiles (¿más de 20?). Por otro lado, se puede triangular el toro mucho más razonablemente utilizando la primera definición (o, alternativamente, utilizando la definición de "complejo Delta" del libro de topología algebraica de Hatcher, pero esto no está muy lejos de la primera definición de todos modos).

Creo que se puede pasar de una definición a otra sin mucho problema. (Creo que se puede pasar de la primera a la segunda haciendo algunas subdivisiones baricéntricas, y pasar de la segunda a la primera es trivial).

Debido a que la segunda definición es la que aparece en la wikipedia, tengo la impresión de que la gente sigue utilizando esta definición. Mis preguntas son:

1. ¿Se sigue utilizando la segunda definición? Si es así, ¿en qué contextos y por qué?

2. ¿Cuáles son las ventajas de la segunda definición?

Answer 1

Los conjuntos simpliciales y los complejos simpliciales se encuentran en los dos extremos de un espectro, mientras que los complejos Delta, inventados por Eilenberg y Zilber con el nombre de "complejos semisimpliciales", se sitúan en un punto intermedio. Los conjuntos simpliciales son mucho más generales que los complejos simpliciales y tienen la gran ventaja de permitir la formación de cocientes y productos sin necesidad de subdivisión, como se requiere para los complejos simpliciales. En este sentido, los conjuntos simpliciales son como los complejos CW, sólo que más combinatorios o categóricos. El precio que hay que pagar por ello es que los conjuntos simpliciales son quizás menos geométricos, o al menos no tan bien geométricos como los complejos simpliciales. Así que la elección de cuál utilizar puede depender en parte de lo geométrico que sea el contexto. En algunos ámbitos, los conjuntos simpliciales son mucho más naturales y útiles que los complejos simpliciales, mientras que en otros ocurre lo contrario. Si se dibujara un diagrama de Venn de las personas que utilizan una u otra estructura, la intersección podría ser muy pequeña.

Los complejos Delta, al ser una especie de compromiso, tienen algunas de las ventajas y desventajas de cada uno de los otros dos tipos de estructura. Cuando escribí mi libro de topología algebraica tuve la sensación de que los complejos Delta habían caído en el olvido a lo largo de los años, así que quise volver a darlos a conocer, tanto como herramienta pedagógica en los cursos de introducción a la topología algebraica como un tipo de estructura que surge de forma muy natural en muchos contextos. Por ejemplo, el espacio clasificatorio de una categoría es un complejo Delta.

Por cierto, he añadido 5 páginas al final del apéndice en la versión en línea de mi libro que entran en un poco más de detalle sobre estos diversos tipos de estructuras simpliciales. (Tengo una deuda de agradecimiento con Greg Kuperberg por explicarme algunas de estas cosas hace un par de años).

Answer 2

La mayoría de las respuestas anteriores parecen tratar las diferencias entre conjuntos simpliciales y complejos simpliciales, y las ventajas o desventajas de cada uno. Parte de la pregunta original era: ¿la gente sigue utilizando los complejos simpliciales y, si es así, por qué? Me gustaría dar una breve respuesta aquí.

Ciertamente, la gente sigue utilizando complejos simpliciales abstractos (la "segunda definición" de la pregunta). La topología de baja dimensión está llena de complejos simpliciales útiles. Por ejemplo, uno de los objetos más importantes en el estudio de los grupos de clases de mapas y los espacios de moduli de las curvas es el complejo de curvas de Harvey. Fijemos una superficie. El conjunto de vértices es el conjunto de clases de isotopía de curvas cerradas simples (no orientadas) en la superficie que no limitan discos. Una colección de vértices $v_0, \ldots, v_n$ de n+1 vértices distintos abarca un n-simplex si admiten representantes que son disjuntos por pares. Por supuesto, si sólo se está interesado en el tipo de homotopía de este complejo, entonces se podría trabajar igualmente con el nervio del conjunto de colecciones de curvas. Pero para muchos argumentos, es más fácil/claro trabajar con este complejo simplicial y estudiar la acción del grupo de clases de mapas sobre él. Pasar al nervio del conjunto de símiles es sólo una subdivisión, y si ya tienes un objeto perfectamente bueno para estudiar, por qué sustituirlo por algo que tiene muchos más símiles de los que preocuparse.

Hay muchos otros objetos en la topología y la combinatoria de baja dimensión que se nos presentan de forma natural como complejos simpliciales en lugar de conjuntos simpliciales. Los espacios de módulos de los grafos y cosas como el espacio exterior de Culler-Vogtmann son (subconjuntos) de las realizaciones de los complejos simpliciales, mientras que la columna vertebral del espacio exterior es la realización de un conjunto simplicial. Es realmente útil trabajar con ambos. Por ejemplo, si se quiere conocer el VCD de los grupos de automorfismo exteriores de los grupos libres, se trabaja con el conjunto simplicial que da la columna vertebral. Pero la prueba de que $Out(F_n)$ es un grupo de dualidad virtual que utiliza fundamentalmente el espacio exterior en lugar de su columna vertebral.

Supongo que la moraleja es que, desde un punto de vista puramente homotópico, los complejos simpliciales y los conjuntos simpliciales son aproximadamente equivalentes, aunque, como señala Allen en su respuesta, muchas construcciones son más fáciles con los conjuntos simpliciales. Sin embargo, no todos los problemas tienen que ver con la teoría de la homotopía. A veces la geometría importa, y en estas situaciones los complejos simpliciales suelen tener la ventaja de ser mucho más pequeños y cercanos a la geometría que definió el complejo en primer lugar.

Answer 3

Muchas gracias a Allen, a su vez, por su generosa citación para mí. Lo que tenía que decir es bastante estándar, sin embargo, no creo que sea capaz de escribir un libro como la Topología Algebraica de Hatcher. Aquí hay un enlace al apéndice que Allen escribió.

Esta es la situación en pocas palabras. Un conjunto simplicial tiene una pequeña realización. Se trata de un complejo CW formado por símiles no degenerados del conjunto simplicial. Las símplices pueden estar pegadas a sí mismas o pegadas entre sí de forma múltiple. Sin embargo, la estructura del conjunto simplicial también implica que las esquinas de cada símplex estén ordenadas localmente de forma consistente, y esto no es posible con un encolado arbitrario. El ordenamiento local consistente es útil para una variedad de propósitos. La primera vez que realmente te interesa es que te da un producto de copa canónico a nivel de cadenas simpliciales.

Los topólogos geométricos, especialmente los topólogos de los 3 manifoldes, utilizan ampliamente exactamente esta estructura, pero sin el ordenamiento local consistente. Esto se llama triangulación generalizada, y se puede expresar de la misma manera que un conjunto simplicial. En lugar de utilizar la categoría simplex, cuyos morfismos son mapas que conservan el orden entre conjuntos finitos ordenados, se utiliza la categoría simplex simétrica, cuyos morfismos son todos los mapas entre todos los conjuntos finitos. La realización pequeña de un conjunto simplicial simétrico es exactamente una triangulación generalizada, si el conjunto simplicial simétrico satisface una determinada condición de libertad. El grupo simétrico $S_n$ actúa sobre el conjunto de los formales $n$ -simples, y la condición es que la acción sobre el no degenerado sea libre. Los conjuntos simpliciales simétricos aparecen en un puñado de artículos en la literatura.

Toda triangulación generalizada con vértices ordenados localmente de forma consistente está representada por un único conjunto simplicial. Esta es una visión armoniosa de los conjuntos simpliciales que hace felices tanto a los topólogos algebraicos como a los geométricos. El único problema es que no se generaliza bien a otros objetos simpliciales, ya que los símiles no degenerados no sirven para, por ejemplo, un grupo simplicial.

Los conjuntos simpliciales son muy útiles para los topólogos algebraicos. Las triangulaciones generalizadas son muy útiles para los topólogos geométricos. Los complejos simpliciales son útiles para los combinadores: son hipergráficos con una propiedad de cierre. Los complejos simpliciales no son tan útiles como generalizaciones naturales para los topólogos algebraicos o geométricos: conjuntos simpliciales si se ordenan los vértices; o triangulaciones generalizadas si no se ordenan los vértices. Es cierto que ciertas construcciones de conjuntos simpliciales o triangulaciones generalizadas son automáticamente complejos simpliciales. Por ejemplo, el conjunto simplicial de un poset es automáticamente eso (como dice Charles Rezk), o la segunda subdivisión baricéntrica de cualquier tipo de complejo CW que tenga una subdivisión baricéntrica. (Porque la primera subdivisión baricéntrica es automáticamente un conjunto simplicial con vértices de color).

Answer 4

Hay que tener cuidado aquí. La realización geométrica de un conjunto simplicial puede no ser la realización geométrica de un complejo simplicial de forma obvia: por ejemplo, la realización geométrica de $\Delta[2]/\partial\Delta[2]$ es la unión de un punto y un abierto $2$ -simplemente. No se trata de un complejo simplicial en el sentido de su primera definición: el cierre del abierto $2$ -simplex no es un cerrado $2$ -simplemente. Por supuesto, se puede producir una subdivisión que sea un complejo simplicial, pero no estoy seguro de que la subdivisión baricéntrica funcione aquí.

Los complejos simpliciales se inventaron mucho antes que los conjuntos simpliciales (I piense en fueron introducidos por Poincare). Los complejos simples son incómodos si te interesa la teoría de la homotopía, incluso por algunas de las razones que mencionas. Sin embargo, la gente piensa en ellos:

* Es una cuestión clásica si se puede triangular una variedad, es decir, demostrar que es homeomorfa a un complejo simplicial (bonito). Esta pregunta tiene una respuesta sutil (véase Invariante de Kirby-Siebenmann ), y conduce a la noción de "colector a trozos", que es una clase manejable de colectores entre los colectores continuos y los colectores lisos.

* Los complejos simpliciales aparecen por todas partes en la combinatoria, por ejemplo, en el complejo de pedidos de un poset.

Answer 5

Yo utilizo la segunda definición. No entiendo muy bien la primera definición; ¿puede escribirla en términos concretos? (El objeto de Hatcher es bonito y permite triangulaciones más "económicas".) Es correcto que a veces se necesitan muchos símiles para triangular (pero sólo 7 para el toro). Pero las definiciones originales de complejo simplicial tienen varias ventajas. En abstracto, los complejos simpliciales no son más que una colección hereditaria de conjuntos. Es decir, una colección de conjuntos cerrados bajo subconjuntos. Son objetos combinatorios muy básicos que aparecen por todas partes.