Polinomio mínimo para $\zeta+\zeta^5$ para una raíz séptima primitiva de la unidad $\zeta$

Question

Polinomio mínimo para $\zeta+\zeta^5$ para una raíz séptima primitiva de la unidad $\zeta$

He preguntado un problema similar Polinomio mínimo de $\zeta+\zeta^{-1}$ y traté de repetir una idea similar

Considere $\alpha=\zeta+\zeta^5$ y considerar $\sigma \in Gal(\mathbb{Q}(\zeta)/\mathbb{Q})$ definido como $\sigma(\zeta)=\zeta^2$

por lo que consideramos los conjugados de $\alpha$ en $\sigma$

• $\alpha=\zeta+\zeta^5$
• $\sigma(\alpha)=\sigma(\zeta+\zeta^5)=\zeta^2+\zeta^3$
• $\sigma^2(\alpha)=\sigma(\zeta^2+\zeta^3)=\zeta^4+\zeta^6$
• $\sigma^3(\alpha)=\alpha$

Así que consideraría $(x-\alpha)(x-\sigma(\alpha))(x-\sigma^2(\alpha))$

Esto me está dando $x^3+x^2+(2+\zeta+\zeta^2+\zeta^4)x-1$

No sé cómo hacer coeficiente de $x$ como real..

Por favor, ayúdenme a llenar este vacío..

Answer 1

Porque $7$ es primordial, lo sabemos, $Aut(\mathbb{Q}[\zeta_7]/\mathbb{Q}) \cong \mathbb{Z}_7^\times \cong \mathbb{Z}_6$ .

A partir de aquí, queremos encontrar un generador para ese grupo de automorfismo. Nótese que $\mathbb{Q}[\zeta_7]$ es el campo de división para el polinomio irreducible $f(x) = x^6 + x^5 + \cdots + x + 1$ cuyas raíces son las $6$ no trivial $7$ ón de la unidad. Ahora, es un teorema que el grupo de automorfismo actúa transitivamente sobre las raíces del polinomio $\iff$ ese polinomio es irreducible. Por lo tanto, sabemos que debe existir un automorfismo dentro de este grupo tal que $\zeta \mapsto \zeta^n$ para cualquier $n \in \{1, 2, ..., 5\}$ . La forma más fácil que conozco de hacerlo es mediante la experimentación.

Una vez que hayas encontrado tu generador, $\phi$ entonces su grupo de automorfismo es simplemente $\{id, \phi, \phi^2, ..., \phi^5\}$ .

La motivación de todo este trabajo fue que hay que dejar que su todo grupo de automorfismo actúan sobre $\zeta + \zeta_5$ para generar el polinomio mínimo. Si denotamos $\{\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_k \}$ como la órbita de $\zeta + \zeta^5$ bajo esta acción, entonces el polinomio mínimo será $m(x) = \displaystyle \prod_{i=1}^k\Big(x-\alpha_i\Big)$ .

La moraleja de la historia es que tenías la idea correcta, pero en la frase anterior es donde te desviaste.

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Modifier : No es necesario encontrar realmente el generador, pero es necesaria para que todo el grupo de automorfismo actúe sobre $\zeta + \zeta^5$ . Nótese que habrá un automorfismo que mapea $\zeta \mapsto \zeta^k$ para todos $k$ por el razonamiento anterior, y cada una debe ser (obviamente) única. Por lo tanto, el $6$ de ellos son:

• $\zeta \mapsto \zeta$
• $\zeta \mapsto \zeta^2$
• $\zeta \mapsto \zeta^3$

etc.

Para terminar, si es posible, te recomendaría que buscaras un ejemplar de Artin y leyeras el capítulo 14, sección 4, proposición 4.4. Creo que eso llegaría al meollo de donde te equivocaste inicialmente. Puedes encontrar una versión en .pdf de este texto aquí: http://www.drchristiansalas.org.uk/MathsandPhysics/AbstractAlgebra/ArtinAlgebra.pdf

Answer 2

El mapa $\tau: \zeta \rightarrow \zeta^3$ es un generador del grupo de automorfismo de $Q(\zeta)$ , $\zeta^7=1$ , $\zeta\ne 1$ . Su automorfismo $\sigma: \zeta \rightarrow \zeta^2$ es $\tau^2$ por lo que representa un elemento de orden 3 en el grupo de Galois. Así que su campo fijo es una extensión cuadrática de $K$ de $Q$ .

Los coeficientes de su polinomio cúbico $f$ mienten en $K$ no en $Q$ . Has calculado el polinomio mínimo sobre $K$ en lugar de $Q$ . El campo $K$ tiene un automorfismo no trivial inducido por conjugación compleja por lo que para obtener el polinomio irreducible sobre $Q$ simplemente calculamos $g=f\bar{f}$ (aplicando la conjugación compleja a los coeficientes). La conjugación compleja es también un automorfismo del campo $Q(\zeta)$ también y viene dado por $\zeta\rightarrow \zeta^{-1}=\zeta^6$ (es $\tau^3$ ). La conjugación compleja no pertenece al subgrupo generado por su elemento $\sigma$ .

Su cúbico es $f=x^3+x^2+\frac{3+\sqrt{-7}}{2}x-1$ , $\bar{f}=x^3+x^2+\frac{3-\sqrt{-7}}{2}x-1$ y $g=f\bar{f}=x^6+2x^5+4x^4+x^3+2x^2-3x+1$ .

Esto es exactamente lo mismo que multiplicar todos los $\prod_{i=0}^5 (x-\tau^i(\zeta+\zeta^5))$ ya que $f=\prod_{i=0}^2 (x-\tau^{2i}(\zeta+\zeta^5))$ y $\bar{f}=\prod_{i=0}^2 (x-\tau^{2i+1}(\zeta+\zeta^5))$

Answer 3

Los créditos de esta respuesta son para Jyrki Lahtonen e i.m.soloveichik

He considerado Sólo $(x-(\zeta+\zeta^5))(x-(\zeta^2+\zeta^3))(x-(\zeta^4+\zeta^6))$ y lo simplificó a $$x^3+x^2+(2+\zeta+\zeta^2+\zeta^4)x-1$$

Ahora consideraría otros conjugados de $\zeta+\zeta^5$ a saber: $\zeta^6+\zeta^2;\zeta^5+\zeta^4;\zeta^3+\zeta$

Con el enlace de Jyrki Lahtonen Es $\sqrt 7$ ¿la suma de las raíces de la unidad? vemos que para $S=\zeta+\zeta^2+\zeta^4$ tenemos $$(2S+1)^2=-7\Rightarrow S=\dfrac{i\sqrt{7}-1}{2}\Rightarrow 2+\zeta+\zeta^2+\zeta^4=2+S=\dfrac{i\sqrt{7}+3}{2}$$

Entonces, mi polinomio es $$f(x)=(x^3+x^2+(\dfrac{i\sqrt{7}+3}{2})x+1)$$

Como me faltaban los conjugados consideraría el conjugado del polinomio $f(x)$ y multiplicar con $f(x)$

Conjugado de $f(x)$ es

$$f(x)=(x^3+x^2+(\dfrac{-i\sqrt{7}+3}{2})x+1)$$

Ahora multiplico (lo hice con lápiz y papel y no quiero escribir esos cálculos aquí) y me di cuenta de que su producto es

$$g(x)=x^6+2x^5+4x^4+x^3+2x^2-3x+1$$