Dejemos que $f$ sea entero, de manera que $f(x+ix)\in\mathbb{R}$ para todos $x\in \mathbb{R}$ . Si $f(2)=1-i$ , encontrar $f(2i)$ .

Question

Dejemos que $f$ sea entero, de manera que $f(x+ix)\in\mathbb{R}$ para todos $x\in \mathbb{R}$ . Si $f(2)=1-i$ , encontrar $f(2i)$ .

Hasta ahora, tengo que como f es entera , $f(z)=\sum_{n=0}^\infty f^n(2)(z-2)^n/n!=\sum_{n=0}^\infty f^n(2i)(z-2i)^n/n!$ . Así que $f(2+2i)=\sum_{n=0}^\infty f^n(2)(2)^n i^n/n!=\sum_{n=0}^\infty f^n(2i)(2)^n/n!=a\in \mathbb{R}$ . No estoy seguro de que esto vaya en la dirección correcta.

Answer 1

Considere $g(z)=f(z(1+i))$ entonces, de verdad $x$ , $g(x)=f(x+ix)$ es real, lo que significa que $$ g(z)=\sum_{n\ge0}a_nz^n $$ con $a_n$ real, porque $g^{(n)}(x)$ es real de verdad $x$ . En particular, $$ g(\bar{z})=\overline{g(z)} $$ (superposición significa conjugación). Ahora $$ f(2i)=f\bigl(i(1-i)(1+i)\bigr)=g\bigl(i(1-i)\bigr)=g(1+i)= \overline{g(1-i)}=\overline{f\bigl((1-i)(1+i)\bigr)}=\overline{f(2)} $$

Answer 2

Pistas:

• si $L=\{x+ix:x\in\mathbb{R}\}$ , demuestre que $f(L)=\mathbb{R}$ . (Utilice los argumentos de conexión)

• Tenga en cuenta que la línea por $2$ y $2i$ es perpendicular a $L$ .

• Demostrar que $f$ es conforme