¿Por qué la definición estándar de coyuntura es la que _siempre_ aparece?

Question

Esta pregunta podría no tener una buena respuesta. Fue algo que se me ocurrió ayer cuando me encontré en un pub, necesitando hacer un cálculo explícito con 2 ciclos pero sin referencias a mano (¡!).

Revisión de la cohomología de grupos.

Dejemos que $G$ sea un grupo que actúa (por la izquierda) sobre un grupo abeliano $M$ . Entonces $H^0(G,M)=M^G=Hom_{\mathbf{Z}[G]}(\mathbf{Z},M)$ y por lo tanto $$H^i(G,M)=Ext^i_{\mathbf{Z}[G]}(\mathbf{Z},M).$$ Ahora $Ext$ se puede calcular utilizando una resolución proyectiva de la primera variable, por lo que vamos a obtener una fórmula para la cohomología de grupo en términos de "cociclos sobre coordenadas" si escribimos una resolución proyectiva de $\mathbf{Z}$ como $\mathbf{Z}[G]$ -módulo. Hay una resolución proyectiva muy natural de $\mathbf{Z}$ : dejar $P_i=\mathbf{Z}[G^{i+1}]$ para $i\geq0$ (con $G$ actuando a través de la multiplicación por la izquierda en $G^{i+1}$ ) y que $d:P_i\to P_{i-1}$ ser el mapa que tan a menudo aparece en este tipo de cosas: $$d(g_0,\ldots,g_i)=\sum_{0\leq j\leq i}(-1)^j(g_0,\ldots,\widehat{g_j},\ldots,g_i).$$ Comprobación: se trata efectivamente de una resolución de $\mathbf{Z}$ . Así que ahora tenemos una "fórmula" para la cohomología de grupo.

Pero no es la fórmula habitual porque necesito hacer un truco más. Actualmente, la fórmula es algo así: el $i$ El grupo de cohomología es $G$ -mapas equivariantes $G^{i+1}\to M$ que son asesinados por $d$ (es decir, que satisfagan algún axioma que implique una suma alternante), módulo de la imagen bajo $d$ de la $G$ -mapas equivariantes $G^i\to M$ .

La forma estándar de proceder a partir de este punto.

La "fórmula" para la cohomología de grupo derivada anteriormente es esencialmente libre de pensamiento (por lo que pude llegar hasta aquí en un pub ruidoso y sin fuentes). Pero queremos algo más útil y fue en este punto donde me quedé atascado. Recordé la naturaleza del truco: en lugar de una $G$ -mapa equivariante $G^{i+1}\to M$ simplemente "dejamos caer una de las variables", y consideramos mapas arbitrarios de conjuntos $G^i\to M$ . Así que necesitamos dar un diccionario entre los mapas teóricos de conjuntos $G^i\to M$ y el $G$ -mapas equivariantes $G^{i+1}\to M$ . Podría ver varias opciones. Por ejemplo, dado $f:G^{i+1}\to M$ Podría definir $c:G^i\to M$ por $c(g_1,g_2,\ldots,g_i)=f(1,g_1,g_2,\ldots,g_i)$ o $f(g_1,g_2,\ldots,g_i,1)$ o cualquier otra cosa de esta naturaleza. La cuestión es que, teniendo en cuenta $c$ hay un único $G$ -equivariante $f$ que le da origen. ¿Qué diccionario utilizamos? Cada uno de ellos dará una definición de cohomología de grupo como "cociclos" sobre "cofines" . Pero, ¿cuál dará la definición "habitual"? Bueno en cierto sentido, ¡a quién le importa! Pero en algún momento tal vez alguien en algún lugar tomó una decisión en cuanto a lo que la convención de pasar de $f$ a $c$ era, y ahora todos nos quedamos con ella. La decisión estándar fue la bastante torpe $$c(g_1,g_2,\ldots,g_i)=f(1,g_1,g_1g_2,g_1g_2g_3,\ldots,g_1g_2g_3\ldots g_i).$$

¿Por qué la definición estándar es omnipresente?

Sin embargo, apuesto a que nadie tomó realmente esa decisión. Apuesto a que la noción de un ciclo de 1 y un ciclo de 2 precedió a las tonterías homológicas generales, y el diccionario entre $f$ s y $c$ s se elaboró de manera que coincidiera con las definiciones que ya eran estándar en bajo grado.

Pero esto me hizo pensar: si, como me parece, no hay una forma "natural" de pasar de $f$ s a $c$ s, entonces ¿por qué los 1-círculos y 2-círculos que aparecen naturalmente en las matemáticas satisfacen todos los mismos axiomas? . ¿Por qué alguien no hace un cálculo, y termina con $c:G^2\to M$ satisfaciendo algún axioma aleatorio que resulta no ser el axioma "estándar" de 2 ciclos, sino que es un axioma que, bajo una asociación no estándar de $c$ s con $f$ s, se convierte en el axioma canónico del cociclo para $f$ que derivamos sin mover el cerebro? ¿Ocurre esto alguna vez en las matemáticas? Creo que nunca he visto un solo ejemplo. En cierto sentido, incluso me sorprende que exista una elección uniforme que especialice a las opciones estándar en los grados 1 y 2.

Ejemplos de cociclos en la teoría de grupos.

1) Imagina que tienes una representación triangular superior bidimensional de un grupo $G$ , por lo que envía $g$ a la $2\times 2$ matriz $(\chi_1(g),c(g);0,\chi_2(g))$ . Aquí $\chi_1$ y $\chi_2$ son homomorfismos de grupo. ¿Qué es $c$ ? Bueno, golpear hacia fuera y ver que $c$ es precisamente un 1 ciclo en el sentido que todo el mundo quiere decir cuando habla de 1 ciclo. Así que debemos haber utilizado el diccionario $c(g)=f(1,g)$ cuando se mueve entre $c$ s y $f$ s arriba. ¿Por qué no usamos $c(g)=f(g,1)$ ?

2) Imagina que intentas construir el mapa de límites $H^0(C)\to H^1(A)$ . Siga su nariz. Afirmación: su seguimiento de la nariz le llevará al cociclo estándar que representa la clase de cohomología. ¿Por qué no nos lleva a una noción no estándar? ¿Por qué coinciden las nociones (1) y (2)?

3) Imaginemos que tenemos un grupo hom $G\to P/M$ donde $M$ es un subgrupo abeliano normal del grupo $P$ . ¿Podemos levantarlo a un grupo hom $G\to P$ ? Bueno, tomemos un levantamiento teórico de conjuntos al azar $L:G\to P$ . ¿Cuál es el "error"? Una cosa completamente natural para anotar es el mapa $(g,h)\mapsto L(g)L(h)L(gh)^{-1}$ porque esto será $M$ -valorado. Se trata de un ciclo de 2 en el sentido estándar de la palabra. ¿Por qué lo natural es la noción estándar de un 2-ciclo? Aah, dices: hay otras cosas naturales que uno puede intentar. Por ejemplo, podríamos haber enviado $(g,h)$ a $L(gh)^{-1}L(g)L(h)$ . Para empezar, esto "me parece ligeramente menos natural" (¿por qué parece menos natural? ¡Esa es en cierto modo la cuestión!). En segundo lugar, esto es realmente sólo la aplicación de una involución canónica a todo: estamos invirtiendo en $G$ e invirtiendo en $M$ que es algo que siempre podremos hacer. Ciertamente no corresponden al diccionario "más natural" que confieso haber probado en la taberna, a saber $c(g,h)=f(1,g,h)$ que dio respuestas mucho más desordenadas. ¿Por qué mi elección "obvia" del diccionario me lleva a 20 minutos de cálculos perdidos? ¿Por qué es "errónea"?

La verdadera pregunta.

¿Alguien se ha encontrado alguna vez en una situación en la que una construcción natural parecida a un cociclo se le presenta en la cara, y hace la construcción, y se encuentra con un cociclo no estándar? Es decir, un cociclo que inducirá un elemento de un grupo de cohomología pero sólo después de aplicar un diccionario no estándar para pasar de $f$ s a $c$ s?

Edit: Aquí está lo que espero que sea una aclaración de la pregunta. Para convertir los cociclos de $G$ -mapas equivariantes $G^{i+1}\to M$ a mapas de conjuntos $G^i\to M$ tenemos que elegir una transversal para la acción de $G$ en $G^{i+1}$ e identificar esto con $G^i$ . Parece que hay una, y sólo una, forma de hacerlo que da lugar a la definición "estándar" de n-ciclo que Yo percibo (posiblemente de forma incorrecta) para ser omnipresente en las matemáticas. Lo llamo "la manera torpe" porque el mapa me parece impar. ¿Por qué es tan torpe? ¿Y por qué, cada vez que un ciclo de 2 cae del cielo, siempre parece satisfacer los axiomas inducidos por este método torpe? ¿Por qué no hay gente que aparezca en este hilo diciendo "bueno, aquí hay un "cociclo" completamente natural $c(g,h)$ procedente de la teoría X que estudio, y no satisface los axiomas habituales del cociclo, tenemos que modificarlo para que sea $c'(g,h)=c(g,gh)$ antes de que lo haga, y esto se reduce a que en teoría X habríamos estado mejor si la historia hubiera escogido una identificación no torpe "

Answer 1

Cohomología de grupo de un grupo $G$ examina las clases de homotopía de los mapas $\mathbf{B}G \to \mathbf{B}^n \mathbb{Z}$ de un oo-grupoide $\mathbf{B}G$ que es un delooping de $G$ a, en el caso más sencillo, algún oogrupoide de Eilenberg-MacLane $\mathbf{B}^n \mathbb{Z}$ .

Así que $\mathbf{B}G$ aquí, como todo en el juego, se especifica sólo hasta la equivalencia. Hay muchas maneras de realizar esto.

Uno de ellos es realizarlo como el grupo de acción $ {*} // G$ de $G$ actuando de forma trivial sobre el punto. Eso da la segunda fórmula que mencionas.

Pero podemos tomar modelos más grandes del punto. Uno de los más populares es $\mathbf{E}G = G//G$ el grupo de acción de $G$ actuando sobre sí mismo. Este es un modelo equivalente del punto. Así que la cohomología de $\mathbf{E}G//G$ también calcula la cohomología de grupo de $G$ . Pero en los mapas de componentes fuera de $\mathbf{E}G/G$ son solo mapas de copias de $G$ con un ejemplar más de los que teníamos antes, que respetan el $G$ acción. Este es el primer formulario que tienes.

Hay infinitamente más, e infinitamente más complicadas que las que has enumerado. Uno para cada oo-grupo conectado que al hacer un bucle da $G$ hasta la equivalencia.

En general, la cohomología es algo que vive en un contexto homotópico, donde todo depende de todo lo demás hasta la equivalencia débil. Por eso hay, en general, tantos modelos diferentes de cohomologías. No sólo la cohomología de grupo.

Algunos detalles sobre esto se encuentran en nLab: cohomología de grupos