¿Por qué la definición estándar de coyuntura es la que _siempre_ aparece?

Question

Esta pregunta podría no tener una buena respuesta. Fue algo que se me ocurrió ayer cuando me encontré en un pub, necesitando hacer un cálculo explícito con 2 ciclos pero sin referencias a mano (¡!).

Revisión de la cohomología de grupos.

Dejemos que $G$ sea un grupo que actúa (por la izquierda) sobre un grupo abeliano $M$ . Entonces $H^0(G,M)=M^G=Hom_{\mathbf{Z}[G]}(\mathbf{Z},M)$ y por lo tanto $$H^i(G,M)=Ext^i_{\mathbf{Z}[G]}(\mathbf{Z},M).$$ Ahora $Ext$ se puede calcular utilizando una resolución proyectiva de la primera variable, por lo que vamos a obtener una fórmula para la cohomología de grupo en términos de "cociclos sobre coordenadas" si escribimos una resolución proyectiva de $\mathbf{Z}$ como $\mathbf{Z}[G]$ -módulo. Hay una resolución proyectiva muy natural de $\mathbf{Z}$ : dejar $P_i=\mathbf{Z}[G^{i+1}]$ para $i\geq0$ (con $G$ actuando a través de la multiplicación por la izquierda en $G^{i+1}$ ) y que $d:P_i\to P_{i-1}$ ser el mapa que tan a menudo aparece en este tipo de cosas: $$d(g_0,\ldots,g_i)=\sum_{0\leq j\leq i}(-1)^j(g_0,\ldots,\widehat{g_j},\ldots,g_i).$$ Comprobación: se trata efectivamente de una resolución de $\mathbf{Z}$ . Así que ahora tenemos una "fórmula" para la cohomología de grupo.

Pero no es la fórmula habitual porque necesito hacer un truco más. Actualmente, la fórmula es algo así: el $i$ El grupo de cohomología es $G$ -mapas equivariantes $G^{i+1}\to M$ que son asesinados por $d$ (es decir, que satisfagan algún axioma que implique una suma alternante), módulo de la imagen bajo $d$ de la $G$ -mapas equivariantes $G^i\to M$ .

La forma estándar de proceder a partir de este punto.

La "fórmula" para la cohomología de grupo derivada anteriormente es esencialmente libre de pensamiento (por lo que pude llegar hasta aquí en un pub ruidoso y sin fuentes). Pero queremos algo más útil y fue en este punto donde me quedé atascado. Recordé la naturaleza del truco: en lugar de una $G$ -mapa equivariante $G^{i+1}\to M$ simplemente "dejamos caer una de las variables", y consideramos mapas arbitrarios de conjuntos $G^i\to M$ . Así que necesitamos dar un diccionario entre los mapas teóricos de conjuntos $G^i\to M$ y el $G$ -mapas equivariantes $G^{i+1}\to M$ . Podría ver varias opciones. Por ejemplo, dado $f:G^{i+1}\to M$ Podría definir $c:G^i\to M$ por $c(g_1,g_2,\ldots,g_i)=f(1,g_1,g_2,\ldots,g_i)$ o $f(g_1,g_2,\ldots,g_i,1)$ o cualquier otra cosa de esta naturaleza. La cuestión es que, teniendo en cuenta $c$ hay un único $G$ -equivariante $f$ que le da origen. ¿Qué diccionario utilizamos? Cada uno de ellos dará una definición de cohomología de grupo como "cociclos" sobre "cofines" . Pero, ¿cuál dará la definición "habitual"? Bueno en cierto sentido, ¡a quién le importa! Pero en algún momento tal vez alguien en algún lugar tomó una decisión en cuanto a lo que la convención de pasar de $f$ a $c$ era, y ahora todos nos quedamos con ella. La decisión estándar fue la bastante torpe $$c(g_1,g_2,\ldots,g_i)=f(1,g_1,g_1g_2,g_1g_2g_3,\ldots,g_1g_2g_3\ldots g_i).$$

¿Por qué la definición estándar es omnipresente?

Sin embargo, apuesto a que nadie tomó realmente esa decisión. Apuesto a que la noción de un ciclo de 1 y un ciclo de 2 precedió a las tonterías homológicas generales, y el diccionario entre $f$ s y $c$ s se elaboró de manera que coincidiera con las definiciones que ya eran estándar en bajo grado.

Pero esto me hizo pensar: si, como me parece, no hay una forma "natural" de pasar de $f$ s a $c$ s, entonces ¿por qué los 1-círculos y 2-círculos que aparecen naturalmente en las matemáticas satisfacen todos los mismos axiomas? . ¿Por qué alguien no hace un cálculo, y termina con $c:G^2\to M$ satisfaciendo algún axioma aleatorio que resulta no ser el axioma "estándar" de 2 ciclos, sino que es un axioma que, bajo una asociación no estándar de $c$ s con $f$ s, se convierte en el axioma canónico del cociclo para $f$ que derivamos sin mover el cerebro? ¿Ocurre esto alguna vez en las matemáticas? Creo que nunca he visto un solo ejemplo. En cierto sentido, incluso me sorprende que exista una elección uniforme que especialice a las opciones estándar en los grados 1 y 2.

Ejemplos de cociclos en la teoría de grupos.

1) Imagina que tienes una representación triangular superior bidimensional de un grupo $G$ , por lo que envía $g$ a la $2\times 2$ matriz $(\chi_1(g),c(g);0,\chi_2(g))$ . Aquí $\chi_1$ y $\chi_2$ son homomorfismos de grupo. ¿Qué es $c$ ? Bueno, golpear hacia fuera y ver que $c$ es precisamente un 1 ciclo en el sentido que todo el mundo quiere decir cuando habla de 1 ciclo. Así que debemos haber utilizado el diccionario $c(g)=f(1,g)$ cuando se mueve entre $c$ s y $f$ s arriba. ¿Por qué no usamos $c(g)=f(g,1)$ ?

2) Imagina que intentas construir el mapa de límites $H^0(C)\to H^1(A)$ . Siga su nariz. Afirmación: su seguimiento de la nariz le llevará al cociclo estándar que representa la clase de cohomología. ¿Por qué no nos lleva a una noción no estándar? ¿Por qué coinciden las nociones (1) y (2)?

3) Imaginemos que tenemos un grupo hom $G\to P/M$ donde $M$ es un subgrupo abeliano normal del grupo $P$ . ¿Podemos levantarlo a un grupo hom $G\to P$ ? Bueno, tomemos un levantamiento teórico de conjuntos al azar $L:G\to P$ . ¿Cuál es el "error"? Una cosa completamente natural para anotar es el mapa $(g,h)\mapsto L(g)L(h)L(gh)^{-1}$ porque esto será $M$ -valorado. Se trata de un ciclo de 2 en el sentido estándar de la palabra. ¿Por qué lo natural es la noción estándar de un 2-ciclo? Aah, dices: hay otras cosas naturales que uno puede intentar. Por ejemplo, podríamos haber enviado $(g,h)$ a $L(gh)^{-1}L(g)L(h)$ . Para empezar, esto "me parece ligeramente menos natural" (¿por qué parece menos natural? ¡Esa es en cierto modo la cuestión!). En segundo lugar, esto es realmente sólo la aplicación de una involución canónica a todo: estamos invirtiendo en $G$ e invirtiendo en $M$ que es algo que siempre podremos hacer. Ciertamente no corresponden al diccionario "más natural" que confieso haber probado en la taberna, a saber $c(g,h)=f(1,g,h)$ que dio respuestas mucho más desordenadas. ¿Por qué mi elección "obvia" del diccionario me lleva a 20 minutos de cálculos perdidos? ¿Por qué es "errónea"?

La verdadera pregunta.

¿Alguien se ha encontrado alguna vez en una situación en la que una construcción natural parecida a un cociclo se le presenta en la cara, y hace la construcción, y se encuentra con un cociclo no estándar? Es decir, un cociclo que inducirá un elemento de un grupo de cohomología pero sólo después de aplicar un diccionario no estándar para pasar de $f$ s a $c$ s?

Edit: Aquí está lo que espero que sea una aclaración de la pregunta. Para convertir los cociclos de $G$ -mapas equivariantes $G^{i+1}\to M$ a mapas de conjuntos $G^i\to M$ tenemos que elegir una transversal para la acción de $G$ en $G^{i+1}$ e identificar esto con $G^i$ . Parece que hay una, y sólo una, forma de hacerlo que da lugar a la definición "estándar" de n-ciclo que Yo percibo (posiblemente de forma incorrecta) para ser omnipresente en las matemáticas. Lo llamo "la manera torpe" porque el mapa me parece impar. ¿Por qué es tan torpe? ¿Y por qué, cada vez que un ciclo de 2 cae del cielo, siempre parece satisfacer los axiomas inducidos por este método torpe? ¿Por qué no hay gente que aparezca en este hilo diciendo "bueno, aquí hay un "cociclo" completamente natural $c(g,h)$ procedente de la teoría X que estudio, y no satisface los axiomas habituales del cociclo, tenemos que modificarlo para que sea $c'(g,h)=c(g,gh)$ antes de que lo haga, y esto se reduce a que en teoría X habríamos estado mejor si la historia hubiera escogido una identificación no torpe "

Answer 1

La diferencia entre f(1,g) y f(g,1) es generalmente una cuestión de si los matemáticos dan preferencia a los "dominios" o a los "rangos" de los mapas.

Esta es una de las formas en que se puede pensar en esto. Puedo escribir EG para una categoría cuyos objetos son elementos de G, y donde cada par de objetos tiene un mapa único entre ellos. Esta categoría tiene una acción de G sobre ella, y se puede preguntar por funtores G-equivariantes desde esta categoría a otra categoría que tenga una acción de G sobre ella.

Para definir dicho functor en el nivel de los objetos basta con definir F(1), donde 1 es la unidad; la equivocidad nos obliga a definir F(g) = g F(1). En el nivel de los morfismos, sin embargo, tenemos que hacer una elección. El morfismo único g→h se convierte en un morfismo F(g)→F(h), y para que tales mapas sean compatibles con la acción G basta con hacer uno de los siguientes conjuntos de elecciones:

• Podríamos definir los mapas f _h F(1)→F(h) para todo h, y obtener todos los demás mapas como g f _h F(g)→F(gh). Para que sea un functor, necesitamos que satisfaga la condición de cociclo f _gh \= (g f _h ) f _g .
• Podríamos definir los mapas d _h F(h)→F(1) para todo h, y obtener todos los demás mapas como g d _h F(gh)→F(g). Para ser un functor, necesitamos que éste satisfaga la condición de cocycle d _gh \= d _g (g d _h ).

En cohomología de grupo, H 1 (G,M) clasifica los desdoblamientos en el producto semidirecto de G con M, y la condición de cociclo que obtenemos proviene de nuestra convención de escribir este grupo como pares (m,g) (que está en el mismo orden que la secuencia exacta en la que encaja) y no (g,m). Del mismo modo, para H 2 (G,M).

Diría que he dado varias veces con definiciones de cocos no estándar porque he sido demasiado perezoso para idear convenciones sensatas sobre cuando estoy pensando en dominios y rangos o tratando de esconderlo bajo la alfombra, especialmente cuando se trata de algebroides de Hopf y cálculos cohomológicos allí.

No tengo una buena respuesta para las condiciones de los cociclos superiores, aparte de decir que escribir 2 cadenas usando f(g,1,h) es de alguna manera más inusual que cualquiera de las otras 2 opciones porque de alguna manera se deriva de centrarse en el objeto "medio" en un doble compuesto de mapas.

Answer 2

Permítanme golpear un poco a un caballo muerto. Como Mariano y DC han mencionado (y tú mencionaste en tu pregunta original), hay múltiples formas equivalentes de calcular la cohomología de grupos, o Ext en general, porque puedes elegir cualquier resolución que quieras. Sin embargo, si quieres una sistemática resolución que siempre funciona, entonces hay que trabajar más.

La resolución que has escrito en términos de G actuando sobre G i+1 funciona perfectamente, pero depende de un hecho especial sobre el álgebra de grupo: es un álgebra de Hopf, y como resultado tiene una forma sensata de actuar sobre un producto tensorial de copias de sí misma. No todos los anillos tienen esas propiedades.

La definición "torpe" funciona para anillos más generales. Dado cualquier anillo R y un módulo R M, siempre hay una secuencia exacta

$$\cdots \to R \otimes R \otimes M \to R \otimes M \to M \to 0$$

llamada la resolución de barra de R sobre M, y surge de una construcción simplicial a través de algunas consideraciones naturales de funtores adjuntos - a saber, hay un par adjunto del funtor olvidadizo de módulos R a módulos ℤ y su adjunto izquierdo, el funtor de módulos R libres, y juntos construyen un objeto simplicial que se convierte en un complejo de cadena, etc. Si se especializa esta construcción a R = ℤ[G], se recupera la "torpe" resolución y su fórmula específica para los operadores de frontera y cofrontera. Así que de alguna manera la definición que es menos intuitiva viene de olvidar que estamos trabajando en un contexto de grupo y ser sistemático allí.

Como no puedo evitarlo, debo mencionar que la resolución de la barra anterior sólo es una resolución libre si R y M son libres sobre ℤ (o si sustituyes ℤ y el tensor por algún anillo de tierra sobre el que ambos sean libres). Si no es así, para obtener una resolución canónica hay que sumergirse hasta el functor olvidadizo de los módulos R a establece y su adjunto, el módulo R libre sobre un conjunto, y esto te da una resolución absolutamente pesada pero siempre válida que es aún menos intuitiva.

Answer 3

Tarde en la fiesta, como siempre, pero: el objetivo de esta respuesta es convencerte de que la convención estándar para $2$ -es tan natural que deberías considerar perverso considerar cualquier otra convención, módulo "aplicar una involución canónica a todo", como dices. Para simplificar las cosas, vamos a tratar sólo la acción trivial sobre los coeficientes. La pregunta motivadora es la siguiente:

¿Qué significa para un grupo $G$ para actuar en una categoría $C$ ?

Para empezar, deberíamos adjuntar a cada elemento de $G$ un functor $F(g) : C \to C$ . A continuación podríamos exigir que $F(g) \circ F(h) = F(gh)$ , pero realmente deberíamos debilitar las igualdades de funtores a isomorfismos naturales siempre que sea posible. Por lo tanto, deberíamos adjuntar a cada par de elementos de $G$ un isomorfismo natural

$$\eta(g, h) : F(g) \circ F(h) \to F(gh).$$

Este es el punto en el que elegimos una convención sobre cómo vamos a representar $2$ -Ciclo. En lugar de hablar de $\eta(g, h)$ podríamos hablar de su inversa; lo que elijamos corresponde a si preferimos hablar de laxa monoidal o oplax monoidal ya que lo que vamos a terminar escribiendo es un funtor monoidal laxo resp. un funtor monoidal oplax de $G$ (considerada como una categoría monoidal discreta) a $\text{Aut}(C)$ (considerada como una categoría monoidal bajo composición).

En cualquier caso, quedémonos con la opción anterior (la más laxa). Entonces los isomorfismos $\eta(g, h)$ debe satisfacer algunas condiciones de coherencia, siendo la más importante la condición de "asociatividad" de que las dos formas obvias de pasar de $F(g_1) \circ F(g_2) \circ F(g_3)$ a $F(g_1 g_2 g_3)$ debería estar de acuerdo.

Ahora supongamos que además todos los funtores $F(g)$ son el functor de identidad $\text{id}_C : C \to C$ . Entonces el único dato que queda en una acción de grupo es una colección de automorfismos naturales

$$\eta(g, h) : \text{id}_C \to \text{id}_C$$

del functor de identidad. Para cualquier categoría $C$ los automorfismos naturales del functor identidad forman naturalmente un grupo abeliano (por el argumento de Eckmann-Hilton) que aquí llamaré su centro $Z(C)$ (pero esta notación se utiliza también para el monoide conmutativo de endomorfismos naturales de la identidad). Así obtenemos una función

$$\eta : G \times G \to Z(C).$$

La importante condición de coherencia que mencioné anteriormente se reduce ahora (de nuevo por el argumento de Eckmann-Hilton) a la condición de que para cualquier $g_1, g_2, g_3 \in G$ tenemos

$$\eta(g_1, g_2) \eta(g_1 g_2, g_3) = \eta(g_2, g_3) \eta(g_1, g_2 g_3)$$

que es precisamente la condición estándar del cociclo. (Los cocientes aparecen cuando se pregunta qué significa que dos acciones de grupo sean equivalentes; voy a ignorar esto).

La única razón por la que esta condición, que recordar es en general sólo la declaración de que las dos formas obvias de ir de $F(g_1) \circ F(g_2) \circ F(g_3)$ a $F(g_1 g_2 g_3)$ debería estar de acuerdo, podría haber parecido algo más que completamente natural es que se trata de un caso especial degenerado en el que las fuentes y los objetivos de los distintos mapas implicados se han oscurecido porque son idénticos. En particular, por supuesto, podría haber optado por pensar en los isomorfismos naturales

$$\eta(g, g^{-1} h) : F(g) \circ F(g^{-1} h) \to F(h)$$

(que corresponde a su $f(1, g, h)$ ), pero ahora

• ya no es en absoluto obvio cómo enunciar la condición de asociatividad de forma sucinta, y
• esto requiere que haga uso explícito del hecho de que $G$ es un grupo.

La discusión hasta ahora da, de hecho, una definición perfectamente razonable de lo que significa que un monoide actúe sobre una categoría. (Sin embargo, si quiero debilitar "isomorfismo natural" a "transformación natural", obtengo dos posibilidades realmente diferentes dependiendo de si elijo funtores monoidales laxos u oplax).

La reflexión sobre la asociatividad sugiere que, para un punto de vista más "imparcial", deberíamos considerar familias de isomorfismos naturales

$$\eta(g_1, g_2, \dots g_n) : F(g_1) \circ F(g_2) \circ \dots \circ F(g_n) \to F(g_1 g_2 \dots g_n)$$

y luego imponer una condición de "asociatividad generalizada" que cada forma de componerlos para obtener un isomorfismo natural con el mismo origen y destino que $\eta(g_1, g_2, \dots g_n)$ debe dar $\eta(g_1, g_2, \dots g_n)$ . Otra forma de decir esto es que la condición del cociclo (en el $F(g) = \text{id}_C$ caso especial, al menos) debería escribirse realmente

$$\eta(g_1, g_2, g_3) = \eta(g_1, g_2) \eta(g_1 g_2, g_3) = \eta(g_2, g_3) \eta(g_1, g_2 g_3).$$

Esto es de la misma manera que podemos considerar que una operación monoide es una familia $m(g_1, g_2, \dots g_n) = g_1 g_2 \dots g_n$ de operaciones que satisfacen una condición de asociatividad generalizada, y en particular que satisfacen

$$m(g_1, g_2, g_3) = m(m(g_1, g_2), g_3) = m(g_1, m(g_2, g_3)).$$

En concreto, por "asociatividad" solemos entender que la expresión del medio es igual a la de la derecha, pero realmente la razón por la que la expresión del medio es igual a la de la derecha es que ambas son iguales a la de la izquierda.

Answer 4

Hey Kevin -

Usted escribe: "La decisión estándar fue la bastante torpe $$c(g_1,g_2, \cdots g_i)=f(1,g_1,g_1g_2,g_1g_2g_3,\cdots, g_1g_2g_3\cdots g_i)$$

Un topólogo piensa que los cociclos de grupo operan sobre "símiles etiquetados por elementos de un grupo". Como los ordenamientos son importantes, tenemos "la" norma $n$ -que viene con un etiquetado de sus vértices por los números $0,1,2,\cdots,n$ . La forma en que el grupo entra es que cada borde del simplex desde el vértice $i-1$ al vértice $i$ está etiquetado por un elemento del grupo, es decir $g_i$ es la etiqueta que va desde el vértice $i-1$ al vértice $i$ . Esto se debe a que el simplex es "realmente" parte de un $K(G,1)$ con un vértice y una arista por cada elemento del grupo, un triángulo por cada elemento de la tabla de multiplicación del grupo (es decir, por cada expresión $g \times h = gh$ ) y así sucesivamente. Estos $g_i$ son los términos del lado izquierdo de la ecuación.

La cubierta universal de este $K(G,1)$ es un complejo simplicial contractible cuyo vértices están ahora etiquetados por elementos del grupo (porque el grupo "es" el grupo de la cubierta, y actúa simplemente de forma transitiva sobre los vértices). Tu simplex original tiene una elevación única a la cubierta tomando el vértice $0$ a algún vértice específico, que bien podría ser el etiquetado por la identidad. El vértice $i$ luego se eleva a la composición $g_1g_2\cdots g_i$ . Así que los términos del lado derecho de su ecuación son las etiquetas del vértices .

En realidad sólo estoy repitiendo lo que Mariano escribió en un lenguaje ligeramente más topológico; no parecías estar contento con su respuesta, así que quizá tampoco lo estés con la mía.

Lo mejor,

DC

Answer 5

El "truco" al que te refieres, de sustituir $G$ -morfismos lineales $f:\mathbb ZG^{i+1}\to M$ por funciones de conjuntos $c:G^i\to M$ no es un truco: es sólo la observación de que $G$ -implica que, dado que $\mathbb{Z} G^{i+1}=\mathbb ZG\otimes\mathbb Z{G^i}$ como una izquierda $G$ -hay un isomorfismo natural $$\hom_G(\mathbb ZG^{i+1},M)=\hom_G(\mathbb ZG\otimes\mathbb Z{G^i},M)=\hom_{\mathbb Z}(\mathbb Z G^i,M)$$ por las propiedades estándar del producto tensorial. Ahora $\mathbb ZG^i$ es abeliano libre en el conjunto $G^i$ por lo que existe un isomorfismo natural $$\hom_{\mathbb Z}(\mathbb Z G^i,M)\cong\hom_{\mathrm{Set}}(G^i,M).$$ La composición de estos mapas proporciona la identificación entre $f$ y $c$ 's. Se pueden escribir explícitamente y calcular sus inversos: en ambos casos se trata de un uno a la izquierda" y esto es simplemente un reflejo de que estamos utilizando módulos de izquierda.

Sobre la torpeza

La forma que usted llama "torpe" tiene el siguiente origen. La resolución habitual de la barra para un grupo $G$ tiene en grado $n$ el $\mathbb ZG$ -Módulo $P_n=\mathbb ZG^{n+1}$ . Podemos pensar en ello como una izquierda libre $G$ -módulo generado por el conjunto de símbolos $[g_1,\dots,g_n]$ . El diferencial del complejo queda entonces $G$ -lineal y por ejemplo, $$d[g_1,g_2,g_3] = g_1[g_2,g_3]-[g_1g_2,g_3]+[g_1,g_2g_3]-[g_1,g_2],$$ y esto implica claramente la multiplicación del grupo. Esto es lo que se llama descripción no homogénea .

También podemos pensar en $P_n$ en otro, homogéneo , camino: definir $$(g_0,\dots,g_n)=g_0[g_0^{-1}g_1,\dots,g_0^{-1}g_n].$$ El conjunto de todos estos símbolos es ahora una base de $P_n$ en $\mathbb Z$ con la acción izquierda de $G$ dado por $$g\cdot(g_0,\dots,g_n)=(gg_0,\dots,gg_n),$$ que es un poco más molesto que antes. Lo bueno es que ahora el límite viene dado por $$d(g_0,\dots,g_n)=\sum_{i=0}^n(-1)^i(g_0,\dots,\hat g_i,\dots g_n),$$ que hace no involucrar el producto en $G$ en absoluto y, de hecho, es precisamente la misma fórmula que da el límite en un complejo simplicial.

La torpeza a la que te refieres no es más que la fórmula de traducción entre estas dos descripciones del complejo, ya que $$[g_1,\dots,g_n]=(1,g_1,g_1g_2,g_1g_2g_3,\dots,g_1\cdots g_n).$$

La descripción original del complejo es la inhomogénea, porque se encontró topológicamente. Los dos pueden ser vistos como una descripción del espacio clasificatorio para $G$ ya sea etiquetando los caminos de la categoría por los objetos que atraviesan, o por las flechas que siguen, o algo así...