Encontrar los ceros de los mapas entre variedades con diferentes dimensiones

Question

Una de las cuestiones para las que la noción de grado es útil es: ¿tiene este mapa un cero.

Por ejemplo, se puede demostrar la Teorema fundamental del álgebra utilizando el siguiente hecho que implica el grado (c.f. página 110 en Guillemin y Pollack):

Propuesta. Supongamos que $f:X\rightarrow Y$ es un mapa suave de variedades orientadas compactas que tienen la misma dimensión y que $X=\partial W$ ( $W$ compacto). Si $f$ puede extenderse a todos los $W$ entonces $\text{deg}(f)=0$ .

Otro ejemplo estándar sería algo así:

( Ejercicio II.4.1 en G&P ) Demuestre que la función $$f(z)=z^7+\cos(|z|^2)(1+93z^4)=0$$ tiene un cero.

Una solución típica a esta variedad de problemas consiste en suponer que $f$ no tiene ceros por lo que el mapa $f/|f|$ tiene sentido en todas partes, restringiéndolo a un círculo, mostrando que es homotópico a $z^7$ concluyendo que tiene grado no nulo, y luego notando que esto contradice el hecho de que el mapa tiene una extensión a la bola limitada por el círculo (el Teorema de la Extensión, página 145 en G&P, dice que no puede ser extendido si el grado es no nulo). Por lo tanto, $f$ tiene ceros.

Lo que me pregunto es: ¿hay algo que permita hacer algo similar en el caso de que la teoría de grados no sea aplicable? Por ejemplo, si uno tiene un mapa $F:S^n\rightarrow\mathbb{R}^m$ para $n\neq m-1$ (para evitar que los ejemplos lo reduzcan a un mapa $S^n\rightarrow S^n$ donde se definiría el grado) ¿se puede determinar si tiene ceros?

Answer 1

La aplicación de la teoría de grados a los mapas del plano a sí mismo, como el ejercicio de G&P que citas, se reduce al hecho topológico de que $\pi_1(S^1)$ el primer grupo de homotopía de $S^1$ es isomorfo al grupo cíclico infinito $\mathbb{Z}$ ---esta es la base del concepto de "número de bobinado".

Si se me permite abordar por un momento el caso de los mapas de la forma $F : S^n \to \mathbb{R}^{n+1}$ (que usted ha desestimado en su pregunta), las aplicaciones de la teoría de grados se reducen a que $\pi_n(S^n) \approx \mathbb{Z}$ aquí $\pi_n$ es el $n^{th}$ grupo de homotopía.

Para $m,n$ en el rango $n < m-1$ todo mapa continuo $F : S^n \to \mathbb{R}^m - 0$ es homotópica a una constante, porque $\pi_n(S_{m-1})$ es el grupo trivial en este rango. Así que en este rango la respuesta a tu pregunta "¿hay algo que permita hacer algo similar ?" es "no". En concreto, no hay ningún método topológico de este tipo que permita demostrar la existencia de un cero de una función continua de la forma $R^{n+1} \to R^m$ . Esto está intuitivamente claro porque como $n+1<m$ cualquier función dada que hace tienen un cero en un punto determinado $p \in R^{n+1}$ puede (asumiendo el cero en $p$ está aislado) se perturbe para eliminar el cero en $p$ .

Sin embargo, si $n > m-1$ entonces las cosas se ponen interesantes. Por ejemplo, $\pi_3(S_2) = \mathbb{Z}$ . Esta es la base del invariante de Hopf de un enlace de 2 componentes en $S^3$ Dado dos círculos orientados, incrustados y disjuntos, su invariante de Hopf es un número entero que se define escribiendo una cierta función continua $S_3 \to S_2$ y tomando el elemento correspondiente de $\pi_3(S_2)$ . Por ejemplo, dos círculos redondos ordinarios que están "unidos" en el sentido intuitivo ordinario están unidos en el sentido riguroso de que no hay ninguna isotopía que separe esos dos círculos; la prueba es calcular el invariante de Hopf de esos dos círculos y verificar que es $\pm 1$ (según la orientación).