Grados de limitación en los lemas de flexión y rotura

Question

He leído las secciones sobre los lemas de doblar y romper en Koll\'ar-Mori y Debarre y tengo la siguiente pregunta. (Ver abajo los antecedentes y lo que sé).

Pregunta: Me gustaría saber si lo siguiente es cierto: si $X$ es una variedad normal (proyectiva) y $-K_X$ es $\mathbb{Q}$ -Cartier y amplio, para el genérico punto $x \in X$ se puede encontrar una curva racional $C$ tal que $-K_X \cdot C \le \dim X + 1$ ?

En una nota relacionada, si esto es falso, también me gustaría saber si es cierto para tales variedades $X$ con singularidades terminales. La razón por la que me pregunto si es cierto en este caso es porque las singularidades terminales aparecen en modelos mínimos de variedades suaves y sabemos que la afirmación es cierta en ese caso.

Antecedentes: En una variedad de Fano (lisa) $X$ , a través de cada punto $x\in X$ existe una curva racional $C$ tal que $0 < -K_X \cdot C \le \dim X + 1$ . Sin embargo, si $X$ es singular, la situación es diferente. El teorema 3.6 de la obra de Debarre Geometría algebraica de dimensiones superiores implica que, si $-K_X$ es amplia y $X$ es normal, existe una curva racional $C$ a través de cada punto $x\in X$ tal que $0 < -K_X \cdot C \le 2 \dim X$ . Me gustaría entender por qué cambia el límite del grado. En mi mente, podría ver que viene de puntos singulares donde $K_X$ no es Cartier, por lo que no se espera el mismo comportamiento, o de alguna diferencia más fina que no entiendo.

Entonces, lo que me gustaría saber es: si $x$ está contenido en el lugar suave de $X$ ¿se puede utilizar el mismo argumento de Bend-and-Break para reducir el grado y encontrar una curva $C$ con $-K_X \cdot C \le \dim X + 1$ ? Todavía podemos encontrar curvas que contengan ese punto en el lugar suave de $X$ por lo que puede producir una curva racional a través de ese punto, por lo que parece que podemos utilizar el mismo truco (pasando a la característica $p$ y aumentando el grado con el Frobenius) para encontrar curvas de menor grado. Sin embargo, quizás el problema viene cuando se intenta producir una curva racional, si pasa por el lugar singular de $X$ El mismo argumento no funcionará. No tengo suficiente experiencia en este ámbito para saberlo.

Answer 1

El límite $-K_X \cdot C \le \dim X + 1$ puede garantizarse si $X$ tiene singularidades locales de intersección completa, y la curva a la que estás aplicando doblar y romper interseca el locus suave de $X$ ; ver [ Kollár 1996 , Thm. II.5.14 y Rem. II.5.15]. La razón es que se necesitan ciertos límites inferiores en las dimensiones de los espacios de deformación; véase [ Kollár 1996 , Thm. II.1.3].

Sin embargo, no sé si ha habido mejoras desde entonces.

[Kollár 1996] J. Kollár. Curvas racionales en variedades algebraicas. Ergeb. Math. Grenzgeb. (3), Vol. 32. Berlín: Springer-Verlag, 1996. doi: 10.1007/978-3-662-03276-3 señor: 1440180 .