He descubierto que la serie de coseno de Fourier de $({-\pi},{\pi})$ de la función $f(x)=\cosh(x)$ es
$$ \frac{2\sinh({\pi})}{\pi}\left[\frac{1}{2}+ \sum_{n\: =\: 1}^{\infty}\:\ \frac{(-1)^n}{n^2+1}\cos(nx)\right]$$
¿Cómo puedo utilizar esto para mostrar:
$$ \sum_{n\: =\: 1}^{\infty}\:\ \frac{1}{n^2+1}= \frac{{\pi}\coth({\pi})-1}{2}$$
No tengo ni idea realmente, el $\coth{\pi}$ me ha despistado.
Usando la identidad de Parseval se obtiene que $\frac{2\sinh \pi}{\pi}\left(1 + \sum\limits_{n=1}^n\frac{1}{n^2+1}\right) = \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi \cosh^2 x dx$ .
Se puede calcular que $\int\limits_{-\pi}^\pi \cosh^2 x dx = \pi + \sinh x \cosh x$ sustituyendo esto en la identidad de Parseval anterior se obtiene el resultado.
Según sus cálculos, avanzamos como
$$ \cosh(x) = \frac{2\sinh({\pi})}{\pi}\left[1+ \sum_{n\: =\: 1}^{\infty}\:\ \frac{(-1)^n}{n^2+1}cos(nx)\right ]. $$
Sustituyendo $x=\pi$ en la identidad anterior da
$$ \cosh(\pi) = \frac{2\sinh({\pi})}{\pi}\left[1+ \sum_{n\: =\: 1}^{\infty}\:\ \frac{(-1)^n}{n^2+1}(-1)^n\right ] \\ \iff \cosh(\pi) = \frac{2\sinh({\pi})}{\pi}\left[1+ \sum_{n\: =\: 1}^{\infty}\:\ \frac{1}{n^2+1}\right ] $$
y luego simplificar para obtener el resultado.
Para cualquier $x\in(-\pi,\pi)$ que tenemos: $$ f(x)=\cosh(x) = \frac{2\sinh \pi}{\pi}\left(\frac{1}{2}+\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^n}{n^2+1}\cos(nx)\right)\tag{1}$$ y: $$\frac{2\sinh \pi}{\pi}\left(\frac{1}{2}+\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^n}{n^2+1}\cos(\pi n)\right)=\frac{f(\pi)+f(-\pi)}{2}=\cosh\pi\tag{2}$$ Desde $\cos(\pi n)=(-1)^n$ es suficiente con reordenar $(2)$ para obtener la identidad: $$ \sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^2+1}=\frac{\pi\coth\pi-1}{2}.\tag{3}$$
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