Actualmente estoy en el instituto y estamos estudiando los radicales. Le había preguntado a mi profesor de matemáticas por qué $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$ (para todo a,b>0) e intenta demostrarlo argumentando que $a^{1/2}*b^{1/2}=(ab)^{1/2}$ (una ley de exponentes). Sin embargo, encuentro esta prueba problemática ya que $x^{1/2}$ es simplemente definido como $\sqrt{x}$ por lo que el razonamiento es circular.
Mi opinión es que $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$ porque una vez que elevamos al cuadrado ambos lados obtenemos $ab=ab$ . Como obviamente nos referimos a la raíz positiva, y la función $f(x) = \sqrt{x}$ es inyectiva, se deduce necesariamente que las expresiones originales $\sqrt{ab}$ y $\sqrt{a}\sqrt{b}$ son equivalentes porque para funciones inyectivas no es posible mapear elementos distintos en el dominio al mismo elemento en el rango ( $ab$ ). Por lo tanto, son expresiones equivalentes.
Mi pregunta por tanto es, ¿es mi prueba válida y/o rigurosa (me parece convincente pero quizás esté equivocada; sólo quiero tenerlo claro) y en segundo lugar era correcta la prueba de mi profesor?
