¿Cómo puedo simplificar lo siguiente? $\sum_{i=1}^n (3i^2+4) - \sum_{j=2}^{n+1} (3j^2+1)$

Question

Quiero simplificar

$$\sum_{i=1}^n (3i^2+4) - \sum_{j=2}^{n+1} (3j^2+1)$$

sin un signo de suma en la respuesta. ¿Cómo puedo hacerlo?

No sé cómo simplificar esta expresión. Agradezco cualquier ayuda.

Answer 1

Bueno, el primer paso obvio será tratar de ver si podemos combinar los términos:

$\sum_{i=1}^n (3i^2+4) - \sum_{j=2}^{n+1} (3j^2+1)=$

$(3\cdot1^2 + 4) + \sum_{k=2}^n (3k^2+4) - \sum_{k=2}^n (3k^2+1) - [3(n+1)^2 + 1]=$

$(3\cdot1^2 + 4)+\sum_{k=2}^n[(3k^2+4)- (3k^2+1)] - [3(n+1)^2 + 1]$

y ver qué pasa. Resulta que un lote sucede. (Todo es bueno.)

Answer 2

Una pista: A veces es útil escribir los términos de una suma para no limitarse a mirar los símbolos. La suma es \begin{align*} (3 \cdot 1^2 + 4) + &(3 \cdot 2^2 + 4) + (3 \cdot 3^2 + 4) + \cdots + (3 \cdot n^2 + 4) \\ - \Big[ &(3 \cdot 2^2 + 1) + (3 \cdot 3^2 + 1) + \cdots + (3 \cdot n^2 + 1) + (3 \cdot (n+1)^2 + 1)\Big]. \end{align*}

¿Ves cómo se puede simplificar eso?

Answer 3

Eso lo resuelve. Amplíe los términos .....

Answer 4

$$\sum_{i=1}^n (3i^2+4) - \sum_{j=2}^{n+1} (3j^2+1)=\sum_{i=1}^n (3i^2+4) - \sum_{j=1}^{n} (3(j+1)^2+1)$$ $$=\sum_{i=1}^n (3i^2+4) - \sum_{i=1}^{n} (3(i+1)^2+1)=\sum_{i=1}^n (3i^2+4) - \sum_{i=1}^{n} 3i^2+6i+4$$ $$=\sum_{i=1}^{n} -6i=-6\frac{n}{2}(n+1)=-3n(n+1)$$