¿Qué es? $\displaystyle \lim_{\substack{x \rightarrow 0^{+} \\ y \rightarrow 1^{-}}} \frac{x+y-1}{\sqrt{x}-\sqrt{1-y}}$ ?

Question

Será el valor en forma de $\frac{"0"}{"0"}$ ? ¿Tengo que utilizar la norma de L'Hopital? ¿O puedo decir que el límite no existe?

Answer 1

Sugerencia: para $x \gt 0, y \lt 1\,$ :

$$\require{cancel} \frac{x+y-1}{\sqrt{x}-\sqrt{1-y}} = \frac{x-(1-y)}{\sqrt{x}-\sqrt{1-y}} = \frac{(\sqrt{x}+\sqrt{1-y})\cancel{(\sqrt{x}-\sqrt{1-y})}}{\cancel{\sqrt{x}-\sqrt{1-y}}} $$

Answer 2

Sugerencia . Se puede observar que, como $x \to 0^+$ , $y\to 1^-$ , $$ x+y-1=x-(1-y)=\left(\sqrt{x}-\sqrt{1-y}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{1-y}\right). $$

Answer 3

Racionalizar el denominador $$\lim_{\substack{x \rightarrow 0^{+} \\ y \rightarrow 1^{-}}} \frac{x+y-1}{\sqrt{x}-\sqrt{1-y}} \frac{\sqrt{x}+\sqrt{1-y}}{\sqrt{x}+\sqrt{1-y}} = \\ \lim_{\substack{x \rightarrow 0^{+} \\ y \rightarrow 1^{-}}} \frac{(x+y-1)(\sqrt{x}+\sqrt{1-y})}{x-(1-y)} = \\ \lim_{\substack{x \rightarrow 0^{+} \\ y \rightarrow 1^{-}}} \sqrt{x}+\sqrt{1-y} = 0$$