¿Y si los dominios y codominios de las categorías no fueran únicos?

Question

Estaba actualizando mis conocimientos sobre la teoría de las categorías, que generalmente obtenía de los libros que no trataban las categorías como tema principal. Así que decidí leer libros sobre el tema.

Al comparar estos textos descubrí que hay varios enfoques diferentes en cuanto a la definición de categoría:

$\textrm{(CD.a)}$ Para la categoría $\mathcal{C}$ con objetos $A,B,C,D \in \mathcal{O}_{\mathcal{C}}$ sus homoclases son $\mathcal{M}_{\mathcal{C}}(A,B)$ y $\mathcal{M}_{\mathcal{C}}(C,D)$ son disjuntos siempre que $A \neq C$ o $B \neq D$ .

$\textrm{(CD.b)}$ Cada clase hom $\mathcal{M}_{\mathcal{C}}(A,B)$ se compone de triples $(A,B,f)$ con sólo el último elemento $f$ con nueva información intrínseca.

Tenga en cuenta que $\textrm{(CD.b)} \Rightarrow \textrm{(CD.a)}$ . Y parece que el papel de esta afirmación es definir $\mathrm{dom}$ y $\mathrm{codom}$ como mapas viables de la clase de todos los morfismos de $\mathcal{C}$ a la $\mathcal{O}_{\mathcal{C}}$ . Por ejemplo, en el caso de $\textrm(CD.a)$ se puede definir $$ \mathrm{dom} (A,B,f) = A \kern 1pc \mathrm{codom}(A,B,f) = B. $$

En mi práctica, bastante limitada, siempre he seleccionado primero los objetos y después los morfismos como elementos de los correspondientes hom-sets, por lo que rara vez he abordado $\mathrm{dom}$ y $\mathrm{codom}$ como mapas directamente. Esto me planteó algunas dudas:

Puede la propiedad $\mathrm{CD}$ (en todas sus formas) sea eliminado sin problemas de la definición de categoría?

¿Es útil tener $\mathrm{dom}$ y $\mathrm{codom}$ para ser bien definidos como mapas para desarrollar cualquier teorema y herramienta útil en la teoría de categorías? ¿O son sólo partes comunes de la jerga matemática?

¿Alguien ha estudiado objetos que son como categorías pero que tienen $\mathrm{CD}$ ¿se ha eliminado de la definición?

Si la propiedad $\mathrm(CD)$ se abandona entonces $\mathrm{dom} $ y $\mathrm{codom}$ puede definirse al menos para categorías pequeñas como conjuntos:

$$ \mathrm{dom}(f) = \{ A \in \mathcal{O}_{\mathcal{C}} : \exists B \in \mathcal{O}_{\mathcal{C}} : f \in \mathcal{M}_{\mathcal{C}}(A,B) \}, $$

$$ \mathrm{codom}(f) = \{ A \in \mathcal{O}_{\mathcal{C}} : \exists B \in \mathcal{O}_{\mathcal{C}} : f \in \mathcal{M}_{\mathcal{C}}(B,A) \}. $$

Puedo presentar ejemplos en los que esta noción no es redundante:

(1)

Considere la categoría $\mathsf{TOP}$ con espacios topológicos como objetos y mapas continuos como morfismos. Entonces $\mathbb{R}$ tiene varios objetos correspondientes en esta categoría, por ejemplo $(\mathbb{R},a)$ y $(\mathbb{R},b)$ siendo números reales con topologías normales y discretas $a$ y $b$ respectivamente. Y que $\mathbf{1} = \{1\}$ sea un conjunto de un punto. Entonces el mapa constante $1 : \mathbb{R} \to \{1\}$ pertenece tanto a $\mathcal{M}_{\mathsf{TOP}}((\mathbb{R},a),\mathbf{1})$ y $\mathcal{M}_{\mathsf{TOP}}((\mathbb{R},b),\mathbf{1})$ .

(2)

Considere la categoría $\mathsf{SET}$ con los objetos son conjuntos y los morfismos son mapas definidos junto a ZF; es decir $f : A \to B$ es un subconjunto de $f \subset A \times B $ con la propiedad de que $$\forall a \in A \; . \; \exists b \in B : (a,b) \in f \quad \& \quad \forall b,c \in B \; . \; (a,b),(a,c) \in f \Rightarrow a = b.$$

Dejemos que $A,B$ son conjuntos y $\emptyset \neq S \subsetneq B$ . Entonces, si $f \in \mathcal{M}_{\mathsf{SET}}(A,S)$ también debe estar presente en $\mathcal{M}_{\mathsf{SET}}(A,B)$ . Así que $f$ tiene un codominio no singular.

Answer 1

Se puede definir la noción de categoría en cualquiera de los lenguajes de la Lógica de Primer Orden con Ordenaciones Dependientes (FOLDS) o FOL dependiente (DFOL) o como una teoría algebraica generalizada o en una teoría de tipos dependiente de tal manera que no haya $\mathsf{dom}$ / $\mathsf{codom}$ operaciones y preguntando si $\mathsf{Hom}(A,B)$ es o no disjunta de $\mathsf{Hom}(C,D)$ es una pregunta sin sentido. En particular, en estas formalizaciones no existe la noción de igualdad de objetos. (Sigue habiendo una noción de igualdad de flechas, pero sólo podemos preguntar por ella para las flechas que se declaran del mismo hom-sort/hom-type).

No se trata sólo de un truco limpio. FOLDS, en particular, fue diseñado para conseguirlo. O mejor dicho, FOLDS fue diseñado para ser un lenguaje formal en el que se pudiera hacer teoría de categorías y el principio de equivalencia (bueno, el principio de isomorfismo) se mantendría automáticamente. Es decir, toda propiedad que se pueda enunciar en FOLDS, por ejemplo, es invariante por isomorfismo: si la propiedad se cumple para un objeto, se cumple para todos los objetos isomorfos. La igualdad de los objetos no es claramente invariable por isomorfismo, por lo que no es un predicado que se pueda formular en FOLDS.

Para responder a su pregunta, sí podemos dejar el CD y la noción de $\mathsf{dom}$ y $\mathsf{codom}$ operaciones por completo, pero tenemos que limitarnos a un lenguaje en el que no tengan sentido. Pero restringirnos a un lenguaje así es bueno porque las propiedades fuera de este lenguaje no satisfacen el principio de isomorfismo (y tales propiedades se suelen denominar "malas"). Dado que categorías estrictas parecen ser una cosa, asumo que a veces son útiles/necesarios. (Normal) FOL y la teoría de conjuntos no proporcionan realmente una manera de formalizar la noción de categoría sin incluir esta estructura extraña, ya sea explícita o implícitamente, de ahí la existencia de FOLDS y compañía. En la práctica, nos limitamos a informalmente nos limitamos (en su mayor parte) a las propiedades invariantes de isomorfismo, por lo que el hecho de que se nos permita en las formalizaciones habituales comprobar la igualdad de los objetos y que $\mathsf{dom}$ / $\mathsf{codom}$ existen suelen ser ignorados. Esto es similar a la forma en que simplemente no hacemos preguntas como ¿es $\mathbb Q\subseteq \arcsin(1)$ aunque sean preguntas técnicamente legítimas en un contexto de teoría de conjuntos.