Un reto problema le preguntó a mostrar que si rectángulo $R$ con el eje de lados paralelos se divide en un número finito de subrectangles $R_1,R_2,\ldots,R_n$ (también con el eje de lados paralelos), de tal manera que cada una de las $R_i$ tiene al menos un número entero de longitud lateral, a continuación, $R$ también debe tener al menos un número entero de longitud lateral. La única prueba que he visto, aunque sencillo, es muy poco intuitivo. Es decir, se mira la integral $$ \int_R e^{2 \pi i (x+y)} dx dy $$ y tenga en cuenta que la integral es $0$ si y sólo si $R$ tiene un número entero de longitud lateral y, a continuación, tenga en cuenta que por supuesto la integral es$0$$R_i$, de ahí que sumar la integral sobre todos los $R_i$ da que la integral también es $0$$R$. Alguien puede dar una respuesta más directa e intuitiva argumento de que no uso el vudú como un complejo de valores de integral?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Hacer que el plano en un tablero de ajedrez gigante cuadrícula con plazas de tamaño $\tfrac{1}{2}\times\tfrac{1}{2}$. En este problema tenemos en cuenta sólo los rectángulos con lados paralelos a los ejes. Es (intuitivamente) claro que un rectángulo con un lado entero de la longitud cubre cantidades iguales de negro y blanco de la zona.
Deje $R$ ser un rectángulo del tamaño de la $a\times b$ se divide en un número finito de subrectangles, teniendo cada uno un lado entero de la longitud. Tenga en cuenta que $R$ cubre la igualdad de las partes en blanco y negro, porque cada uno de los rectángulos más pequeños. Sin pérdida de generalidad podemos suponer que la esquina inferior izquierda de $R$ está en el origen.
Divida $R$ en dos rectángulos de tamaños de $\lfloor a\rfloor\times b$$(a-\lfloor a\rfloor)\times b$, con el primer rectángulo con su esquina inferior izquierda en el origen. La primera abarca las cantidades iguales de negro y blanco. La segunda vez puede ser subdividido en dos rectángulos de tamaños $$(a-\lfloor a\rfloor)\times\lfloor b\rfloor\qquad\text{ and }\qquad(a-\lfloor a\rfloor)\times(b-\lfloor b\rfloor),$$ con el ex de tener uno de los lados adyacentes a un eje. Este rectángulo de nuevo la cubierta de la igualdad de las partes en blanco y negro. El último rectángulo debe también cubrir la igualdad de las partes en blanco y negro.
Tenga en cuenta que este pequeño rectángulo se coloca en la esquina inferior izquierda de una unidad cuadrada, cubierto por, precisamente, dos negros y dos blancos cuadrados. Para cubrir la igualdad de las partes en blanco y negro, uno de sus lados deberá tener número entero de longitud. Pero para $a-\lfloor a\rfloor$ o $b-\lfloor b\rfloor$ a ser un número entero, debe ser cero. Llegamos a la conclusión de que, o bien $a$ o $b$ es un número entero, y que, por ende, $R$ tiene un lado entero de la longitud.
Primero vamos a suponer una restricción adicional: que solamente podemos partición de los rectángulos dividirlos en dos, de forma recursiva.
Tenga en cuenta que cuando nos dividimos el rectángulo más grande en dos, sólo podemos lograr el entero de restricción en las dos sub-rectángulos si al menos uno de los lados del rectángulo primario tiene un número entero de lado también.
Ahora, vamos a relajar los adicionales dividir en dos restricción al señalar que la configuración de los rectángulos pueden ser alcanzados de forma recursiva por la división y, a continuación, combinar adyacentes rectángulos - tomando nota de que el original rectángulo grande todavía tiene un número entero de lado.
Esto suena bien en mi cabeza - por favor, elija agujeros en ella :)
Creo que he completado la prueba, a menos que alguien pueda encontrar un hueco. Por el argumento original que he publicado, sabemos que el resultado se da cuando todas las longitudes de los lados de subrectangles racionales de la forma $q/p$ fijo el primer $p$. Así que supongamos que tenemos un rectángulo sin número entero lados, de tal manera que cada subrectangle tiene un número entero de lado. Deje $r_x = |x - \lbrace{x \rbrace}|$ $r_y = |y - \lbrace{y \rbrace}|$ ser las distancias de la general longitudes de los lados del rectángulo original al entero más cercano. Elegir prime $p$, de modo que $r_x,r_y$ más grande que el $2/p$. Podemos aproximar el rectángulo y subrectangles mediante la sustitución de cada vértice con el más cercano racional de vértices de coordenadas de la forma $q/p$. A continuación, cada aproximada subrectangle tiene un número entero de lado, y por lo que la aproxima general rectángulo debe tener también un número entero de lado. Pero esto significa que el rectángulo original debe tener $r_x$ o $r_y$ menos que o igual a $2/p$, una contradicción.
Si $R$ no tiene un número entero de tamaño, puedes dibujar una cuadrícula en el rectángulo, con líneas horizontales y verticales colocados everyy $\frac 1 2$ unidades, de tal manera que hay un número impar de puntos de cuadrícula en el interior del rectángulo.
Ya que cada pequeño rectángulo que contiene un número par de puntos de la malla, tiene una contradicción.
Aquí es un ejemplo dentro de un rectángulo de tamaño $2+? * 2+?$
Puedo probarlo, suponiendo que todas las longitudes de los lados de subrectangles son racionales de la forma $q/p$ donde $p$ es una prima fija. En ese caso, si se escala el rectángulo y subrectangles por un factor de $p$ entonces tenemos que todas las longitudes de los lados son números enteros, y todos los subrectangles tiene un lado de longitud divisible por $p$, y queremos mostrar que, en general, rectángulo también tiene un lado de longitud divisible por $p$. Pero esto es trivial: cada subrectangle tiene área divisible por $p$, por lo que el área total de la general rectángulo es también divisible por $p$, y por lo tanto al menos uno de los lados del total del rectángulo debe tener la longitud divisible por $p$.
