¿Cuál es el significado de la convergencia condicional y absoluta?

Question

Sé cómo encontrar si una serie es de convergencia condicional o absoluta tomando el valor absoluto y viendo si esa suma absoluta converge (entonces la suma original es absoluta). Si el absoluto diverge pero el original converge, entonces es condicional.

Pero mi pregunta es: ¿hay algún significado? ¿La serie de convergencia absoluta es mayor que la absoluta? ¿El hecho de que una serie sea absoluta o condicional afecta a la velocidad de convergencia, o al radio? ¿Afecta a la simetría?

Buscando en Google, sólo he encontrado pruebas de cómo encontrar si es absoluta o condicional. Pero yo quiero encontrar el sentido o el significado. O al menos más propiedades matemáticas.

Answer 1

Hay un teorema que demuestra que si una serie es condicionalmente convergente entonces es posible reordenar los términos de la suma para que converja a cualquier valor. Básicamente, si se suman los términos positivos y negativos por separado se obtiene $\infty - \infty$ , una forma indeterminada que depende de la divergencia de los dos términos. La conclusión es que una serie absolutamente convergente es más robusta a las manipulaciones sin tener que preocuparse de si la respuesta se ve alterada por ellas.

Mathologer tiene un buen video sobre este aspecto de la convergencia condicional .

Answer 2

Dejemos que $ \Sigma x_n$ sea una serie de números reales. Consideremos ahora la división $x_n$ en dos series separadas: $p_n$ y $q_n$ , donde: $p_n = \begin{cases}\ \ x_n, & x_n > 0 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$ y $p_n = \begin{cases}\ \ -x_n, & x_n < 0 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$

Se puede demostrar fácilmente que

1. $ \Sigma x_n$ = $ \Sigma p_n - \Sigma q_n$
2. $ \Sigma |x_n|$ = $ \Sigma p_n + \Sigma q_n$

¿Qué pasa si $x_n$ es absolutamente convergente? Bueno, esto debe implicar que $ \Sigma p_n$ y $ \Sigma q_n$ son convergentes. Ahora, lo más interesante es que si $ \Sigma x_n$ es condicionalmente ¿convergente? Entonces $ \Sigma p_n$ y $ \Sigma q_n$ deben divergir ambos en 2. Por lo tanto $ \Sigma x_n$ es una diferencia de series divergentes. Heurísticamente, esto significa que las dos series se están "domesticando" de alguna manera.

Otra consecuencia interesante de esto es la Teorema de reordenación de Riemman que utiliza este hecho para reordenar cualquier secuencia condicionalmente convergente para que converja a cualquier número real.

Así que la convergencia absoluta es de alguna manera más "estable" que la convergencia absoluta.