¿En qué condiciones son equivalentes estas formulaciones de modelos mixtos?

Question

Veo modelos de "efectos mixtos" (es decir, modelos con factores fijos y aleatorios) especificados en la literatura de dos maneras, y me gustaría entender las condiciones en las que son equivalentes...

Formulación del modelo 1:

$$ Y = \ X \beta + \ Zb +\epsilon $$ $$ \epsilon \thicksim N(0,\sigma^2 I) $$ $$ b \thicksim N(0,\Sigma)$$ $$ Cov(\epsilon,b)=0 $$ Aquí los efectos aleatorios se especifican explícitamente. La distribución para $ Y $ que se puede escribir $Y \thicksim N(X \beta+\ Z b, \sigma^2 I)$ se denomina a veces "condicionado a". $b$ ."

Formulación del modelo 2:

$$ Y \thicksim N(X \beta, \Gamma) $$ $$ \Gamma = Z \Sigma Z' + \sigma^2 I $$

Aquí, los efectos aleatorios se especifican implícitamente a través de $Z$ y los elementos de la matriz de covarianza $ \Gamma $ cuya expresión puede derivarse de los supuestos de Modelo 1 . Esta formulación es como la utilizada para los "mínimos cuadrados generalizados".

Estas dos formulaciones diferentes se utilizan a veces indistintamente. Por ejemplo, Rencher y Schaalje, 2008 . En la página 480, la especificación del modelo mixto es como Modelo 1 mientras que en la página 486, expresión (17.3), es como Modelo 2 . En este último caso, se está utilizando para la exposición de la máxima verosimilitud residual (REML).

Mi preocupación es que, al utilizar Modelo 2 en lugar de Modelo 1 ¿se está renunciando a algunos grados de libertad en los cálculos? ¿O son estas dos formulaciones completamente equivalentes, es decir, ambas conducen a los mismos resultados para $\Sigma$ y $\beta $ en función de los datos observados para $Y$ , $X$ y $Z$ ?

Answer 1

Aunque creo que tu comprensión es en general correcta, parece que te falta un pequeño paso conceptual. Digamos que tienes un modelo de efectos fijos con errores normales:

\begin{align} y = X\beta + \epsilon \leftrightarrow y \sim N(X\beta, \sigma^2 I) \end{align}

donde $X$ es su matriz modelo y $\beta$ su vector de parámetros. Usted generaliza este modelo asumiendo algunos efectos aleatorios $\gamma$ asociado a una matriz modelo $Z$ . Así que se obtiene algo como lo que usted etiquetó como formulación del modelo 1:

\begin{align} y = X\beta + Z\gamma + \epsilon \leftrightarrow y|\gamma \sim N(X\beta+Z\gamma, \sigma^2 I) \end{align}

Suponiendo ahora que $\gamma \sim N(0, \Sigma_\gamma)$ lo que significa que Var( $y$ ) = Var( $Z\gamma$ ) + Var( $\epsilon$ ) = $Z \Sigma_\gamma Z^T + \sigma^2 I$ . Así, la distribución incondicional de $y$ es lo que ha etiquetado como formulación del modelo 2:

\begin{align} y \sim N(X\beta, Z \Sigma_\gamma Z^T +\sigma^2 I) \end{align}

Así que sí, estas dos formulaciones de modelos son equivalentes.