Plano proyectivo real en 3 formas diferentes

Question

Al leer el libro Topología Básica de M.A. Armstrong , hay tres interpretaciones del Plano Proyectivo Real como sigue:

(a) Tome la esfera unitaria $S^n$ en $E^{n+1}$ y dividirlo en subconjuntos que contengan exactamente dos puntos, siendo los puntos antípodas (en extremos opuestos de un diámetro). $P^n$ es el espacio de identificación resultante. Podríamos abreviar nuestra descripción diciendo que $P^n$ se forma a partir de $S^n$ identificando los puntos antipodales.

(b) Empezar con $E^{n+1}-\{0\}$ e identificar dos puntos si y sólo si se encuentran en la misma línea recta que pasa por el origen. (Obsérvese que los puntos antípodas de $S^n$ tienen esta propiedad).

(c) Empezar con la bola de la unidad $B^n$ e identificar los puntos antípodas de su esfera límite.

Pero no puedo visualizar por qué (a) y (c) son iguales. Por favor, que alguien me ayude a intuirlo.

Answer 1

Tomemos la definición $P^n=S^n/[z\sim -z]$ como en $(a)$ y trabajar para $(c)$ . Utilizaremos coordenadas homogéneas para mostrar los puntos de $P^n$ Así que $[z_1,\dots,z_n]\in P^n$ representa la clase de equivalencia de $z=(z_1,\dots,z_n)\in S^n$ .

Para empezar, utilizaremos las coordenadas radiales para ver $B^n$ como el cono $(S^{n-1}\times I)/(S^{n-1}\times\{0\})$ . La esfera límite es entonces el subespacio $S^{n-1}\times\{0\}$ . Entendido así, definimos $$\widetilde\varphi:B^n\rightarrow P^n$$ para ser el mapa $\widetilde\varphi(z,t)=[t\cdot z,\sqrt{1-t^2}]$ donde la raíz cuadrada positiva se toma en la última coordenada.

Este mapa está bien definido y además satisface $\widetilde\varphi(z,1)=\widetilde\varphi(-z,1)$ para todos $z\in S^{n-1}$ . Por lo tanto, si dejamos que $Q^n$ sea el espacio cociente de $B^n$ obtenida mediante la identificación de los puntos antípodas de $S^{n-1}$ entonces hay un mapa inducido $$\varphi:Q^n\rightarrow P^n.$$ Lo último que hay que comprobar es que este mapa es un homeomorfismo, cosa que dejaré a tu criterio. La cuestión es que dado $[z_1,\dots,z_n]\in P^n$ , ya sea $z_n=0$ o $z_n\neq 0$ y hay un único representante de $[z_1,\dots,z_n]$ con $z_n>0$ . Esta fue la razón por la que se especificó anteriormente que el positivo se tome la raíz cuadrada. Con esto no es difícil ver que $\varphi$ es un biyecto continuo. Escribir una inversa continua no es difícil. Alternativamente, $Q^n$ es compacto, por lo que si te alegras de que $P^n$ es Hausdorff, entonces basta con tener una biyección continua.