Desigualdad para una función gamma

Question

Dejemos que $s=\sigma+it$ y $\Gamma(s)$ sea la función gamma de Euler. ¿Se cumple la desigualdad? $$ \left|\frac{\Gamma(s)}{\Gamma(2-s)}\right|\leq |s|^{2(\sigma-1)},\, 1<\sigma<2,\, t\in \mathbb{R}. $$ Las dificultades para demostrar la desigualdad aparecen cuando $\sigma$ se aproxima a 1.

Dicha desigualdad apareció estudiando una función zeta de segundo orden. Concretamente, comparando los valores de la función zeta de Selberg para el subgrupo modular $PSL(2,\mathbb{Z})$ a través de la línea crítica: |Z(1-s)|>|Z(s)| (|Z(1-s)|<|Z(s)| ?), $1/2<\sigma<1$ .

Podemos demostrar que $$ \left|\frac{\Gamma(s)}{\Gamma(2-s)}\right|\leq \left|s-2-\frac{\sqrt{2}}{2}\right|^{2(\sigma-1)},\, 1<\sigma<2,\, t\in \mathbb{R}. $$ Véase el lema 7 en http://link.springer.com/article/10.1007%2Fs00025-015-0486-7#page-1

Sin embargo, la misma técnica no funciona para la primera desigualdad.

Answer 1

1. No estoy seguro de que esta estimación sea cierta. En el preprint citado los signos de s son los mismos, los tuyos son opuestos.
2. Las desigualdades estándar no dan potencia sino crecimiento exponencial $$ |\frac{\Gamma(s)}{\Gamma(2-s)}|\le \frac{1}{\pi} \sinh(\pi |s|). $$ ¿Realmente la mejor estimación es cierta?

Answer 2

Existe una auténtica asíntota $\Gamma(s+a)/\Gamma(s)\sim s^a$ para $s$ en un semiplano a la derecha de $0$ , como $|s|\to \infty$ para un límite de $a$ . (Esto se demuestra en muchos lugares, como corolario del lema de Watson, mucho más fácil que el de Stirling-Binet-Laplace, y sin utilizar este último. Por ejemplo, en las notas del curso en http://www.math.umn.edu/~garrett/m/mfms/ llamada "asintótica de integrales, incluyendo la función Gamma".

A continuación, utilice $|\Gamma(\sigma-it)|=|\Gamma(\sigma+it)|$ Así que $|\Gamma(2-s)|=|\Gamma(2-\sigma+it)|$ y $|\Gamma(\sigma+it)/\Gamma(2-\sigma+it)|\sim |t|^{2\sigma-2}$ . Una asintótica, no una desigualdad.