pregunta difícil en Ecuación Diferencial.

Question

Estoy tratando de resolver el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales, pero no he podido encontrar ningún método / procedimiento para obtener la solución. No quiero una respuesta exhaustiva y completa; una pista será suficiente.

Observe que $h$ es un valor real fijo.

$$\int_{x_i-h}^{x_i+h} dx\int_{y_j-h}^{y_j+h} dy\nabla\phi_{i\pm 1,j}.\nabla\phi_{i,j}=-\frac 13$$ $$\int_{x_i-h}^{x_i+h} dx\int_{y_j-h}^{y_j+h} dy\nabla\phi_{i,j\pm 1}.\nabla\phi_{i,j}=-\frac 13$$ $$\int_{x_i-h}^{x_i+h} dx\int_{y_j-h}^{y_j+h} dy\nabla\phi_{i\pm 1,j\pm 1}.\nabla\phi_{i,j}=-\frac 13$$ $$x_{i\pm 1}=x_i\pm h$$ $$y_{j\pm 1}=y_j\pm h$$

Answer 1

Un estudiante no matemático me pidió que comprobara si el ejercicio 2.29, página 94 del libro " Electrodinámica clásica, tercera edición, John David Jackson, John Wiley & Sons "¿es correcto o no? De hecho el problema pide comprobar 5 integrales. Las dos primeras son correctas pero Él y también yo ganamos 8/3 en lugar de -1/3 para las tres últimas. ¡En el momento en que él hizo su pregunta vi que tu pregunta y la suya son un poco más que parecidas! Hay dos posibilidades;

¡1º, te han preguntado lo mismo pero no lo has entendido! ¡(Lo que parece imposible ya que la pregunta es algunas integraciones fáciles y nadie está preguntando sobre ecuaciones diferenciales!)

2º, realmente estás pidiendo una función que satisfaga estas tres ecuaciones. Entonces, si el autor del libro no se ha equivocado en ese ejercicio, la función que viene ahí es una respuesta a tu pregunta, de lo contrario (en caso de que las respuestas de esas integraciones sean 8/3) sólo tienes que multiplicar esa función por (-8), entonces de nuevo tienes una respuesta para tu pregunta. Por lo tanto, en ambos casos te presenté una respuesta.