Desigualdad triangular por inducción

Question

La desigualdad del triángulo para el valor absoluto que para todos los números reales a y b ,

Utiliza la definición recursiva de suma, la desigualdad del triángulo, la definición de valor absoluto y la inducción matemática para demostrar que para todos los enteros n, si

son números reales, entonces

Por favor, ayuda. Estoy muy perdido y no tengo ni idea de por dónde empezar. Cualquier pista será genial. Muchas gracias.

Answer 1

Paso básico: $n = 1$

$|a_1| = |a_1|$ . Hecho.

Paso de inducción:

Supongamos que $|\sum_{i=1}^k a_i|\le \sum_{i=1}^k|a_i|$ . Prueba $|\sum_{i=1}^{k+1} a_i|\le \sum_{i=1}^{k+1}|a_i|$

$|\sum_{i=1}^{k+1} a_i| = |(\sum_{i=1}^k a_i) + a_{k+1}|$

Por la desigualdad del triángulo:

$|(\sum_{i=1}^k a_i) + a_{k+1}| \le |(\sum_{i=1}^k a_i)| + |a_{k+1}|$

estamos presumiendo

$|\sum_{i=1}^k a_i|\le \sum_{i=1}^k|a_i|$

así que

$|(\sum_{i=1}^k a_i) | + |a_{k+1}| \le \sum_{i=1}^k|a_i| + |a_{k+1}| = \sum_{i=1}^{k+1}|a_i|$ .

Así que $|\sum_{i=1}^{k+1} a_i|\le \sum_{i=1}^{k+1}|a_i|$

Así que hemos demostrado $|\sum_{i=1}^{n} a_i|\le \sum_{i=1}^{n}|a_i|$ es cierto para $n = 1$ .

Hemos demostrado que si $|\sum_{i=1}^n a_i|\le \sum_{i=1}^n|a_i|$ es cierto para $n =k$ entonces es cierto para $n = k+1$ .

Así que por inducción es cierto para todos los números naturales $n$ .