Tengo un problema de álgebra, pero ni idea de cómo resolverlo. El problema es: "usted puede crear 9! las matrices de los elementos de los que se encuentran en un conjunto $ \{1,2,3,...,9\} \subset \mathbb N$, de modo que sus elementos no se repiten, es decir, por ejemplo, $$ \begin{pmatrix}1&2&9\\3&5&7\\6&4&8 \end{pmatrix} $$ Hallar la suma de los factores determinantes de todas estas matrices." Me podría dar una idea de cómo resolverlo? Gracias.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Vedran Šego
Puntos
8041
Observar todas esas matrices $X = \begin{bmatrix} x_{ij} \end{bmatrix}$ donde $x_{11} < x_{12}$. Vamos a llamar a ese conjunto $S_1$.
Ahora, observa el resto de ellos y llamar a ese conjunto de $S_2$. Aquellos que han $x_{11} > x_{12}$. Observe que los dos conjuntos son bijective. ¿Cuál es la bijection (indicar con $f$)?
Esto significa que su suma es igual a
$$\sum_{X \in S_1} \det X + \sum_{X \in S_2} \det X = \sum_{X \in S_1} \det X + \sum_{X \in S_1} \det f(X) = \sum_{X \in S_1} (\det X + \det f(X)).$$
Si usted entiende lo $f$ es, te darás cuenta de que $\det f(X) = -\det X$.
Funciona para todas las $n > 1$.
runeh
Puntos
1304
Dado que los demás han respondido, y el truco es el mismo, aquí hay otra manera de pensar sobre el problema.
Si cambio la primera y segunda filas de cada matriz, puedo cambiar el signo de cada factor determinante y, por tanto, el signo de la suma. Por otro lado, tengo exactamente el mismo conjunto de matrices, por lo que la suma debe ser siempre el mismo. Esto me deja con sólo una posibilidad.
Lo menciono porque en él se aborda el problema a nivel mundial, y que tipo de razonamiento es a veces muy útil. El local se oculta la información en "tengo exactamente el mismo conjunto de matrices" y si escribes el detalle de lo que hace que sea obvio que se encontrará el reflejo de las otras sugerencias de personas han publicado.
egreg
Puntos
64348
Alex Fok
Puntos
3204
Archis Welankar
Puntos
1730
a ver si nos vemos de intercambio de filas o columnas el determinante se convierte en $(-1)^n$ de la original determinante donde $n$ = número de intercambios de modo que aquí tenemos tres hasta los arreglos, mientras que tres impar arreglos de lo que implica la suma de todos estos $9!$ determinantes como son pares e impares pares es $0$. por ejemplo, el ejemplo que usted da tiene valor determinante $-114$ si el cambio de 1 fila y luego se vuelve $+114$ así que ahora, como tenemos tres impar combinaciones y tres aún así conseguimos $3(-114)=3(114)=0$ también tenga en cuenta que si en una determinada fila o columna si los elementos están en AP, a continuación, el valor determinante es $0$ esperanza de su claro.
