Este es el problema:
Encuentra el término constante en la expansión de (x-(2/x))^2 -x^2 +(2/x))^3
Entiendo que puedo usar mi calculadora para averiguar la respuesta, pero ¿hay alguna forma sencilla de resolverlo? Gracias.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Markus Scheuer
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He aquí una propuesta que podría ser conveniente.
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Al principio hay que tener en cuenta que es útil tener la primera filas de _El triángulo de Pascal_ en mente al menos $1;\quad 1,1;\quad 1,2,1;\quad 1,3,3,1$ .
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Por lo tanto, ya sabemos $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ y $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ .
Aquí también utilizamos el coeficiente de operador $[x^n]$ para denotar el coeficiente de $x^n$ sólo para facilitar la notación.
Teniendo estos requisitos previos a mano, podemos calcular \begin{align*} [x^0]&\left(x-\frac{2}{x}\right)^2\left(x^2+\frac{2}{x}\right)^3\\ &=[x^0]\left(x^2-4+\frac{4}{x^2}\right)\left(x^6+6x^3+12+\frac{8}{x^3}\right)\tag{1}\\ &\,\,\color{blue}{=-48}\tag{2} \end{align*}
Comentario:
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En (1) aplicamos el teorema del binomio dos veces y expandimos los binomios.
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En (2), examinamos con más detalle el factor de la izquierda $\left(x^2-4+\frac{4}{x^2}\right)$ .
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Mirando $x^2$ necesitamos un término con $\frac{1}{x^2}$ en el factor de la derecha, que no existen.
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Mirando $-4$ vemos que podemos tomar $12$ en el factor de la derecha, lo que da $-48$ .
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Mirando $\frac{4}{x^2}$ necesitamos un término con $x^2$ en el factor de la derecha, que no existen.
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No son necesarias más consideraciones.
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