Dejemos que $a_i$ sea una secuencia doblemente infinita( $i=...-1,0,1,...$ ) de puntos en [0,1] tal que para todo $i$ o bien $a_i\equiv a_{i-1}+\sqrt2$ (mod 1) o $a_i\equiv a_{i-1}+\sqrt3$ (mod 1). ¿Puede el conjunto $A=\{a_i|i\in \mathbb{Z}\}$ ¿se cerrará?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
En primer lugar, hay que tener en cuenta que sólo hay que considerar una secuencia ordinaria $\langle a_k:k\in\Bbb N\rangle$ Si podemos hacer $\{a_k:k\in\Bbb N\}$ cerrada, podemos hacer una secuencia cerrada doblemente infinita dejando que $$a_{-n}=a_0-(a_n-a_0)=2a_0-a_n$$ para $n\in\Bbb Z^+$ .
Dejemos que $\langle a_k:k\in\Bbb N\rangle$ sea como se especifica en el planteamiento del problema, y que $A=\{a_k:k\in\Bbb N\}$ y supongamos que $A$ está cerrado en $[0,1]$ . Establecer $x_0=a_0$ y $y_0=0$ . Dado $\langle x_k,y_k\rangle$ , dejemos que
$$\langle x_{k+1},y_{k+1}\rangle=\begin{cases} \left\langle (x_k+\sqrt2)\bmod 1,y_k\right\rangle,&\text{if }a_{k+1}=(a_k+\sqrt2)\bmod1\\ \left\langle x_k,(y_k+\sqrt3)\bmod 1\right\rangle,&\text{if }a_{k+1}=(a_k+\sqrt3)\bmod1\;, \end{cases}$$
para que $a_k=(x_k+y_k)\bmod 1$ para cada $k\in\Bbb N$ . Sea $S=\{\langle x_k,y_k\rangle:k\in\Bbb N\}$ ; es fácil comprobar que $S$ está cerrado en $[0,1]\times[0,1]$ .
Si $\langle y_k:k\in\Bbb N\rangle$ es finalmente constante, entonces $A$ es denso en $[0,1]$ y por lo tanto no está cerrado, por lo que se supone que $\langle y_k:k\in\Bbb N\rangle$ no es finalmente constante; entonces debe ser denso en $[0,1]$ .
Dejemos que $y\in[0,1]$ sea arbitraria; existe una subsecuencia $\langle y_{n_k}:k\in\Bbb N\rangle$ de $\langle y_n:n\in\Bbb N\rangle$ convergiendo a $y$ . La secuencia $\langle x_{n_k}:k\in\Bbb N\rangle$ está acotada, por lo que tiene una subsecuencia que converge a algún $x\in[0,1]$ y para no profundizar demasiado en los subíndices podemos también suponer que $\langle x_{n_k}:k\in\Bbb N\rangle$ converge a $x$ . Entonces $\big\langle\langle x_{n_k},y_{n_k}\rangle:k\in\Bbb N\big\rangle$ es una secuencia en el conjunto cerrado $S$ convergiendo a $\langle x,y\rangle$ Así que $\langle x,y\rangle\in S$ y por lo tanto $y=y_m$ para algunos $m\in\Bbb N$ . Así, $[0,1]\subseteq\{y_m:m\in\Bbb N\}$ Lo cual es absurdo. De ello se desprende que $A$ no se puede cerrar.
