Lógica modal: justificación de la regla de necesidad

Question

Estoy estudiando unos apuntes de clase sobre lógica modal y ahora leo un párrafo que dice lo siguiente:

Las reglas de inferencia del sistema K son el modus ponens y la regla de la necesidad:

NEC: si A es un teorema, entonces A es un teorema.

Esta regla es legítima en el sentido de que preserva la verdad en un mundo en cualquier modelo: si A es verdadero en un mundo w, debe ser verdadero en cada mundo accesible desde w, por lo que A es verdadero en w.

No entiendo bien la última línea ("Esta norma es legítima..."). ¿Tienes alguna idea? Tal vez el enunciado correcto debería haber sido: si A es verdadero en un mundo w y es un teorema...

Answer 1

No es una explicación muy buena, incluso podría decirse que es errónea. En su lugar, yo diría algo como

Si $A$ es un teorema entonces más vale que sea cierto en cada mundo posible. En particular, si $w$ es algún mundo, entonces $A$ es cierto en todos los mundos accesibles desde $w$ Así que $\Box A$ es cierto en $w$ . Pero $w$ era arbitraria, por lo que $\Box A$ es mismo verdadero en todos los mundos. Así que es legítimo declarar que $\Box A$ debería ser un teorema.

Si $A$ no es realmente un teorema, todavía puede por cierto sea cierto en algún mundo, y entonces $\Box A$ no tiene por qué ser cierto en ese mundo.

Answer 2

Escribes "Esta regla es legítima porque preserva la verdad en un mundo en cualquier modelo".

Esto no es cierto. La necesidad preserva la verdad en un modelo, pero no la verdad en un mundo en un modelo. Es fácil ver que lo que es verdadero en un mundo no tiene por qué serlo necesariamente en ese mundo, por lo que añadir el operador de caja puede no preservar la verdad.