Ecuación diferencial lineal homogénea con un coeficiente discontinuo

Question

Me dan una ecuación diferencial

$$ y'' + (sgn(x))y = 0 $$

Resuelto a trozos, obtengo $$ y_1 = \begin{cases} \ A Cos(x), x \ge 0\\ \ B e^{-x} , x < 0 \end{cases} $$ $$ y_2 = \begin{cases} C Sin(x), x \ge 0\\ D e^{x}, x < 0 \end{cases} $$ Sin embargo, ${y_2}$ no es continua en cero, y además de esto, el problema me da un representación gráfica de $y_1$ y $y_2$ y parece ser que $$ y_2 = \begin{cases} C Sin(x), x \ge 0\\ D xe^{-x}, x< 0 \end{cases} $$ Se agradecerá cualquier ayuda.

Answer 1

Este problema hace uso de la función de signo, que se define como

$$sgn(x) = \left\{\begin{array}{ll} ~1 & \mbox{if}~ x \gt 0\\ -1 & \mbox{if}~ x \lt 0\\ ~0 & \mbox{if}~ x = 0 \end{array} \right.$$

Se nos da una DEQ y unas condiciones iniciales y se nos pide que encontremos dos soluciones linealmente independientes, tales que, $a)$ cada uno satisface la ecuación en cada punto $x \ne 0$ y, $b)$ , cada una tiene una derivada continua en $x = 0$ . El DEQ y el ICS son:

$$y'' + sgn(x) y = 0, \\ y_1(0) = y_2'(0) = 1, y_2(0) = y_1'(0) = 0$$

Su enfoque es correcto al dividirlo en dos casos.

Si $x \ge 0, y'' + y = 0$ tiene solución general:

$$y(x) = a \cos x + b \sin x$$

Si $x \lt 0, y'' - y = 0$ tiene solución general:

$$y(x) = c e^{x} + d e^{-x}$$

En general, podemos escribir:

$$y(x) = \left\{\begin{array}{ll} a \cos x + b \sin x & \mbox{if}~ x \ge 0\\ c e^{x} + d e^{-x} & \mbox{if}~ x \lt 0 \end{array} \right.$$

El derivado de esto es:

$$y'(x) = \left\{\begin{array}{ll} -a \sin x + b \cos x & \mbox{if}~ x \ge 0\\ c e^{x} - d e^{-x} & \mbox{if}~ x \lt 0 \end{array} \right.$$

Ahora bien, como ha descubierto, hay que tener cuidado de pegar bien estas soluciones para cumplir con los CI y ser continuos para ambos $y_1(x)$ y $y_2(x)$ .

Para $y_1(x), y_1(0) = 1, y_1'(0) = 0$ tenemos:

$$y_1(0) = \left\{\begin{array}{ll} a & \mbox{if}~ x \ge 0\\ c + d & \mbox{if}~ x \lt 0 \end{array} \right. = 1 \implies a = 1, c + d = 1$$

$$y_1'(0) = \left\{\begin{array}{ll} b & \mbox{if}~ x \ge 0\\ c - d & \mbox{if}~ x \lt 0 \end{array} \right. = 0 \implies b = 0, c-d = 0 \implies c = d$$

Subcontratación $c = d$ en el primero, da $c = d = \dfrac{1}{2}$ .

Esto nos da:

$$y_1(x) = \left\{\begin{array}{ll} \cos x & \mbox{if}~ x \ge 0\\ \dfrac{1}{2} (e^{x}+ e^{-x}) & \mbox{if}~ x \lt 0 \end{array} \right.$$

Repita este proceso para $y_2(x)$ y ver si puedes hacer que funcione.

Las parcelas para $y_1(x)$ , azul, y $y_2(x)$ naranja son:

Obsérvese que hemos cumplido la independencia lineal y ambas condiciones, $a)$ y $b)$ según sea necesario.