Demostrar $ 1 + 2 + 4 + 8 + \dots = -1$

Question

Possible Duplicate:
Paradoja de infinito = -1

Un amigo me dijo que $1 + 2 + 4 + 8 + \dots$ equivalía a menos uno. Cuando le pedí una explicación, él dijo:

¿Tengo que hacerlo?

De acuerdo, entonces, Sea $x = 1+2+4+8+\dots$

$2x-x=x$

$2(1+2+4+8+\dots) - (1+2+4+8+\dots) = (1+2+4+8+\dots)$

Por lo tanto, $(2+4+8+16+\dots) + (-1-2-4-8+\dots) = (1+2+4+8+\dots)$. Ahora, $-2$ y $2$, $-4$ y $4$, $-8$ y $8$ y así sucesivamente, se cancelan, y lo único que queda es $-1$.

Por lo tanto, $1+2+4+8+\dots = -1$.

Siento que esta conclusión no es correcta, pero no puedo expresarlo. ¿Alguien puede decir si esta prueba es incorrecta, y si lo es, en qué está equivocada?

Answer 1

El primer error está justo al principio, al escribir "Dejemos que $x=1+2+4+\cdots$." Esto asume que existe tal objeto como $1+2+4+\cdots$. El segundo error radica en tratar este supuesto objeto como si fuera una suma finita pero quizás muy larga, a la cual se aplican las reglas sensatas para manipular sumas finitas.

Nota: Piensa en la "suma" $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots$. Si llamamos a esto $x$ y usamos una manipulación análoga a la que hiciste, terminamos con la conclusión de que la "suma" es $2$. Cuando las series infinitas se definen de manera formal, resulta que la respuesta es de hecho $2$. Entonces, algunas manipulaciones "naturales" dan resultados erróneos, y otras dan resultados correctos. Por supuesto, ese no es un estado de cosas tolerable: no podemos utilizar técnicas de manipulación que a veces den un resultado correcto y a veces no lo hagan. Este tipo de problemas, a un nivel más sofisticado, llevó a los matemáticos, en la segunda mitad del siglo XIX, a buscar definiciones muy cuidadosas de los objetos fundamentales de las matemáticas y demostraciones rigurosas de sus propiedades básicas.

Answer 2

La serie infinita $\displaystyle 1 + 2 + 4 + 8 + \ldots$ diverge. Sin embargo, la suma $f(z) = 1 + z + z^2 + z^3 + \ldots$, que converge a $1/(1-z)$ para $|z| < 1$, tiene una continuación analítica al plano complejo con el punto $1$ removido, y de hecho $f(2) = -1. Entonces, en ese sentido, podrías considerar $-1$ como el valor de la serie divergente.

Para más información sobre esto, consulta http://en.wikipedia.org/wiki/1_%2B_2_%2B_4_%2B_8_%2B_%C2%B7_%C2%B7_%C2%B7 y las referencias allí.

Answer 3

Mira el libro de cálculo, nivel universitario. Cuando tratamos con sumas infinitas, no podemos cambiar el orden para calcular.

Ejemplo. $1-1+1-\cdots$

$$(1-1)+(1-1)+\cdots=0+0+\cdots=0$$

$$1+(-1+1)+(-1+1)+\cdots=1.$$

Answer 4

Es similar a "demostrar" que 1 = 2 diciendo que 1+infinito = 2+infinito.

Answer 5

Lo que está mal es que ``$1+2+4+8+\cdots$'' no es un número, por lo que no puedes tratarlo como tal.