Cómo demostrar esta fórmula que implica la función de empuje hacia adelante

Question

Dejemos que $f:M^{n} \to N^{m}$ y supongamos que $(x,U)$ et $(y,V)$ son sistemas de coordenadas alrededor de $p$ et $f(p)$ respectivamente, entonces quiero demostrar que

$$f_{*} (\frac{\partial}{\partial x_i} \big{|}_p )=\sum_{j=1}^{m} \frac{\partial(y^{j} \circ f)}{\partial x^{i}}(p) · \frac{\partial}{\partial y^{j}} \big{|}_{f(p)} $$

Entonces creo que puedo obtener una fórmula que se extienda por linealidad para

$$f_{*} (\sum_{i=1}^{n} a^{i} \frac{\partial}{\partial x_i} \big{|}_p )$$

en términos de $\frac{\partial}{\partial y^{j}} \big{|}_{p}$ (No sé si lo que pienso de esto es correcto o este hecho implica otra prueba). Así que entonces estoy tratando de usar eso

$$\frac{\partial(g \circ f)}{\partial x^{i}}(p)=\sum_{j=1}^{m}\frac{\partial(g )}{\partial y^{j}}(f(p))·\frac{\partial(y^{j} \circ f)}{\partial x^{i}}(p)$$

porque tengo una expresión similar, pero no sé cómo puedo calcular $f_{*} (\frac{\partial}{\partial x_i} \big{|}_p )$ .

¿Puede alguien proporcionar una prueba detallada de este resultado, por favor?

Intento

Sabemos que $f_{*}v(·)=v(· \circ f)$ entonces en este caso particular tenemos $v=\frac{\partial}{\partial x_i} \big{|}_p $ así que usando eso

$$\frac{\partial(g \circ f)}{\partial x^{i}}(p)=\sum_{j=1}^{m}\frac{\partial(g )}{\partial y^{j}}(f(p))·\frac{\partial(y^{j} \circ f)}{\partial x^{i}}(p)$$

conseguimos que

$$\frac{\partial}{\partial x_i} \big{|}_p (· \circ f)=\sum_{j=1}^{m} \frac{\partial(y^{j} \circ f)}{\partial x^{i}}(p) · \frac{\partial}{\partial y^{j}} \big{|}_{f(p)}$$

¿Estoy en lo cierto? y para la generalización ¿qué se puede hacer?

Gracias de antemano.

Answer 1

Si $\phi_M,\ \phi_N$ son gráficos entonces tenemos $G :=\phi_N\circ f \circ \phi_M^{-1} : {\bf R}^n\rightarrow {\bf R}^m$ para que $G_\ast \partial_{x_i}= \frac{\partial G^j}{\partial x_i} \partial_{y_j} $ Si $E_i:=d\phi_M^{-1} \partial_{x_i}$ et $F_j:=d\phi_N^{-1}\partial_{y_j}$ entonces $$ f_\ast E_i= \frac{\partial G^j}{\partial x_i} F_j $$

Para $f_\ast \sum_i a_i\partial_{x_i}$ necesitamos el argumento sobre el espacio tangente del colector: Si $d\phi_M^{-1},\ d\phi_N$ es lineal, entonces como $dG$ es lineal, hemos terminado

Si $c$ es la curva en ${\bf R}^n$ entonces $v:=d\phi_M^{-1}\ c'(0)\in T_aM$ donde $a=\phi_M^{-1}\circ c(0)$ Si $h$ es una función sobre $M$ , entonces $$vh := \frac{d}{dt} h\circ \phi_M^{-1}\circ c $$

Es decir, el vector tangente $v$ se ve como un operador diferencial. Y $$ w:= \frac{d}{dt} \phi_M^{-1}\circ c_2 \Rightarrow Cv+w = \frac{d}{dt} \phi_M^{-1} ( c(Ct) + c_2(t)-c_2(0) ) $$

$$ Cv+w = d\phi_M^{-1} \ (Cc' + c_2') $$

Y $$ (Cv+w)h= d ( h\circ \phi_M^{-1} )\ ( Cc' + c_2') = Cd ( h\circ \phi_M^{-1} )\ c'+ d ( h\circ \phi_M^{-1} )\ c_2' $$

$$ = C vh + w h $$

Es decir $d\phi_M^{-1} \ (Cc' + c_2') =Cd\phi_M^{-1} \ c'+ d\phi_M^{-1} \ c_2' $