¿Cuál es la diferencia entre una forma automórfica y una forma modular?

Question

Esto es más una cuestión de terminología que de matemáticas.

El término "forma automórfica" es claramente una generalización del término "forma modular". Lo que no está claro es de qué generalización se trata exactamente. Muchas fuentes utilizan el término de diferentes maneras.

Cualquier forma modular holomorfa clásica para $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ se llama forma modular, y normalmente (pero no siempre) también lo son las formas modulares para los subgrupos de congruencia. A menudo, se utiliza "forma automórfica" cuando se consideran otros grupos fucsianos, formas sobre grupos distintos de $\mathrm{GL}_2$ o formas no holomorfas (como las formas de Maass y las series analíticas reales de Eisenstein). Alternativamente, Diamond y Shurman definimos una "forma automórfica" en la sección 3.2 como algo parecido a una forma modular pero posiblemente meromorfa en lugar de holomorfa.

Como otro ejemplo, el libro de Miyake Formularios modulares escribe en la página 114: "Las funciones automórficas y las formas automórficas para los grupos modulares se llaman funciones modulares y formas modulares, respectivamente", y su definición de "grupo modular" parece coincidir con la de subgrupo de congruencia.

El Princeton Companion to Mathematics escribe en la sección III.21, "formas automórficas, que son versiones generalizadas de las funciones analíticas clásicas llamadas formas modulares [III.61]", pero no especifica cuál es la generalización. El libro contiene otras afirmaciones similares (en III.61, "Y de hecho, formas automórficas, que son generalizaciones de las formas modulares").

Entonces, ¿cuál es exactamente la* definición de forma modular en contraposición a la forma automórfica? Como probablemente no hay una respuesta "correcta", lo que realmente quiero saber es cuál es la historia y cuáles son las diferentes convenciones y las relaciones entre ellas.

Answer 1

Muy brevemente: hasta el trabajo de Hans Maass c. 1949, "modular" o "automorfo" se referían a funciones holomorfas invariantes hasta el ciclo (es decir, secciones holomorfas invariantes de un haz) en un cociente $\Gamma\backslash X$ . Para $X$ el medio plano superior, estos fueron elíptica formas modulares, visibles desde el siglo XIX. Para $X$ un producto de semiplanos superiores, eran formas modulares de Hilbert-Blumenthal, también estudiadas por Hecke y Siegel. En $X$ un semiespacio superior de Siegel, Siegel formas modulares, estudiadas por Siegel y Hel Braun en 1939. El caso "elíptico" surgió en parte de los problemas de módulo relativos a las curvas elípticas, de hecho, y tuvo sus raíces en el trabajo de Abel y Jacobi a principios del siglo XIX. La historia de Hilbert-Blumenthal parece haber sido una generalización consciente, una vez que el contenido teórico de los números del caso modular elíptico se ilustró a finales del siglo XIX, por ejemplo, como en Fricke-Klein. El caso "modular de Siegel" tiene como escenario físico el espacio de moduli para variedades abelianas principalmente polarizadas de un tamaño fijo.

El caso "general" de los subgrupos discretos (fuchsianos, etc.) de $PSL(2,\mathbb R)$ actuando en el semiplano superior (o, de forma equivalente, $PSU(1,1)$ en el disco) fue investigado por Poincare y otros a finales del siglo XIX, y llamado "automórfico".

Después de que Hecke viera que las series theta binarias dan zetas de Dedekind de extensiones cuadráticas complejas de $\mathbb Q$ En el año 2000, Maass recibió el problema de la tesis de encontrar un análogo de la cuadrática real. Esto llevó a Maass a descubrir las "formas de onda", soluciones de $(\Delta-\lambda)f=0$ donde $\Delta=y^2({\partial^2\over \partial x^2}+{\partial^2\over \partial y^2})$ es el $SL(2,\mathbb R)$ -invariante del laplaciano en el semiplano superior. La serie de Eisenstein $E_s(z)=\sum'_{c,d} y^s/|cz+d|^{2s}$ son los ejemplos más explícitos, y también son explícitas las "formas de onda especiales" que encontró Maass (que transforman Mellin esencialmente a zetas de Dedekind de campos reales y a funciones L de Hecke sobre ellas). Se trata de "formas/funciones automórficas".

Selberg, Roelcke, Gelfand-et-al y algunos otros siguieron estudiando el lado "analítico" de estas cosas en la década de 1950. Siegel y Braun siguieron trabajando en formas modulares/automórficas holomórficas en espacios de dimensión superior, y Braun inició la investigación de las formas modulares "hermitianas", es decir, unidas al grupo $U(n,n)$ en lugar de $Sp(n,\mathbb R)$ para las formas modulares de Siegel.

A partir de finales de los años 50 y de los 60, Shimura consideró la geometría y aritmética algebraicas (es decir, las funciones zeta de Hasse-Weil, la generación de campos de clase, etc.) en muchas variedades "modulares" de dimensiones superiores, subsumidas en su mayoría bajo la etiqueta "tipo PEL": polarización, endomorfismo, nivel. A estas alturas, parece que "automórfico" se utilizaba para referirse a estas situaciones "generales", aunque tuvieran conexiones con los problemas de módulo.

También a finales de los años 50 y 60, Gelfand y sus colaboradores (Pieatetski-Shapiro, especialmente) hicieron hincapié en las posibilidades de la teoría de la representación para estudiar no sólo las formas/funciones modulares/automórficas holomórficas, sino también las formas de onda de Maass y otras "generalizaciones". En particular, hacia 1960 estaba claro que, desde el punto de vista de la teoría de la representación, las "formas modulares holomorfas" y las "formas de onda real-analíticas" tenían en común que ambas generaban repns irreducibles del grupo de Lie que actuaba. Además, para los subgrupos de congruencia, ser una función propia para los operadores de Hecke significaba esencialmente generar irreducibles para los grupos p-ádicos actuantes, también. (De hecho, incluso los comportamientos de los "primos malos" se incluyen muy bien, aunque de forma menos formulista, bajo este paraguas).

Los trabajos de Langlands sobre la teoría espectral de las formas automórficas y las series de Eisenstein en general, en los años 60, y las conjeturas que relacionan las funciones L de Artin con las cuspformas generales en $GL(n)$ etc., dieron un gran impulso a la teoría "general" a partir de finales de los años sesenta. En parte, esto fue posible gracias a los avances en la teoría de la repn de los grupos de Lie reales semisimples, especialmente por Harish-Chandra. La teoría repn de los grupos p-ádicos, iniciada sobre todo por MacDonald y Gelfand-et-al, empezó un poco más lentamente, pero también demostró ser lo suficientemente robusta como para ser una "ayuda" más que un "obstáculo" en este aspecto de la teoría de afms.

El estudio general de los problemas de módulo necesitaba igualmente aportaciones adicionales para seguir avanzando, y la nueva geometría algebraica de Grothendieck-et-al, en manos de Deligne y otros, resultó ser un buen lenguaje/punto de vista para ello.

Hay mucho más que decir, naturalmente. Para este año, "modular" sugiere "holomorfo", así como "relacionado con el problema de los módulos". "Automórfico" sugiere "algo más general", pero también puede usarse como término paraguas. Las formas holomorfas-excepto-singularidades, es decir, meromorfas, también han surgido en entornos de mayor dimensión, como en los productos de Borcherds. Por otra parte, las formas automórficas/modulares "débiles" de Zwegers-et-al permiten una extensión controlada de la condición de crecimiento moderado de las formas de onda.

Editar... : y puede valer la pena notar que varias "definiciones" más formales son altamente no triviales para comparar entre sí, a menudo dependiendo de la apreciación de grandes teoremas de la teoría de la repn, la geometría algebraica y la teoría de los números, que generalmente _no_ se nombran_ durante una discusión formal de "definiciones". Además, hay incompatibilidades más elementales que a menudo son inofensivas en un contexto determinado, pero que no se reconocen abiertamente. Por ejemplo, la condición de "crecimiento moderado" no la cumple $L^2$ formas automórficas, por la misma razón que las funciones en $L^2(\mathbb R)$ no suelen ser de crecimiento moderado. Otra es la que requiere $\mathfrak z$ -la finitud impide tomar una $L^2$ cierre. Pero estas torpezas del lenguaje formal no son auténticos obstáculos.

Answer 2

La relación entre las formas modulares y las formas automórficas tiene muchos aspectos. En primer lugar, permítanme recordar qué es una forma modular de peso $2k$ para, digamos $SL(2,{\mathbb Z})$ es. Esta es una función en el plano medio superior, que es $holomorphic$ tiene una propiedad de equidistancia $$f(\frac{az+b}{cz+d})=(cz+d)^{2k}f(z)$$ para $\begin{pmatrix} a & b \cr c & d\end{pmatrix}\in SL(2,{\mathbb Z})$ y en el infinito (la "cúspide" para $SL(2,{\mathbb Z})$ en el dominio fundamental) tiene la expansión de Fourier $$f(z)= \sum _{k=0}^{\infty} a(n)q^n,$$ donde $q=e^{2\pi i z}$ para $z$ en el plano medio superior. Por ejemplo, el Ramanujan $\Delta$ es una forma modular de este tipo. Pero, $1/\Delta (z)$ aunque sigue siendo holomorfa en el plano halp superior, tiene su expansión de Fourier en el infinito a partir de $q^{-1}$ y, por tanto, no es una forma modular.

Podemos convertir una forma modular en una función sobre el grupo $SL(2,{\mathbb R})$ tomando la función relacionada $F_f(g)= (ci+d)^{-2k}f(g(i))$ . Se trata de una función sobre $SL(2,{\mathbb R})$ en el que el centro del álgebra envolvente actúa por escalares (traduciendo la condición de holomorfía en $f$ ), es $SL(2,{\mathbb Z})$ invariante (traduciendo la equivarianza para la forma modular $f$ ), y tiene un crecimiento moderado en el dominio fundamental para $SL(2,{\mathbb Z})$ en $SL(2,{\mathbb R})$ .

Esto se puede generalizar a cualquier subgrupo de congruencia del grupo modular, y a cualquier peso, etc., y se obtiene $K$ -finito , $Z$ funciones finitas sobre $G$ que son $\Gamma$ invariante. Estas se llaman formas automórficas. Si se hace esta construcción para la inversa de $\Delta$ se obtiene la mayoría de las propiedades, pero el crecimiento moderado, y por lo tanto no se obtiene una forma automórfica.

Por otro lado, cualquier función sobre $G/\Gamma$ (digamos, $G$ semi-simple y $\Gamma$ un grupo aritmético) que es $K$ finito, $z$ finita y tiene un crecimiento moderado (junto con sus derivadas ) en un dominio fundamental, se define como una forma automórfica. Así que incluso para $SL(2,{\mathbb R})$ hay muchas más formas automórficas que las que surgen de las formas modulares (las que provienen de las formas modulares generalmente tienen una componente infinita de la serie discreta (esto mantiene el peso $k$ de la forma modular)).

Answer 3

La definición más común de una forma automórfica es que se trata de un vector K-finito Z-finito en una representación automórfica. A menudo se requiere que la representación automórfica sea irreducible para poder obtener una función L razonable a partir de ella. Para el propósito de las cosas de Langlands, ésta es la única definición razonable, también para la conjetura de Taniyama-Shimura, etc. Estas son las únicas funciones analizables mediante fórmulas de traza, etc.

Cuando consideramos las formas de Hecke Maass o las formas modulares de cúspide , se trata de una especialización. Para ello, puedes buscar la aproximación fuerte, por ejemplo, en el libro de Bumps.

Dependiendo de su enfoque, algunos autores consideran que ser automórfico no está relacionado con una configuración de congruencia, pero esto es raro. (Nótese también que las álgebras de división dan lugar a retículos uniformes. Al menos, estas formas deben llamarse automórficas. ) También se suponen condiciones de crecimiento razonables, es decir, sin polos.