Función continua de un conjunto contable a $\mathbb{Q}$ .

Question

Dejemos que $N \subset \mathbb{R}$ ser contable. Me gustaría un mapa continuo

$$f:N \to \mathbb{Q}.$$

¿Es suficiente para arreglar $n \in N$ y explotar una contracción de homeomorfismo con $\delta > \epsilon$ , $$B_\delta (n) \to B_\epsilon (f(n))?$$
Está claro que este mapa es un homeomorfismo, aunque no sé cómo escribirlo explícitamente.

Lo pregunto porque estaba proporcionando una prueba alternativa para demostrar que los conjuntos contables están desconectados en $\mathbb{R}$ . Ergo, basta con demostrar que existe un mapeo continuo desde cualquier conjunto contable hacia $\mathbb{Q}$ que está totalmente desconectado.

Answer 1

No entiendo la estrategia de prueba que propones, pero así es como yo construiría una inyección continua $f:N\to\mathbb{Q}$ . Sea $P=N\cup\mathbb{Q}$ Entonces $P$ es un subconjunto denso contable de $\mathbb{R}$ . Por un conocido argumento de ida y vuelta (véase ici por ejemplo), dos subconjuntos densos contables cualesquiera de $\mathbb{R}$ son de orden isomórfico, y se puede demostrar que tal isomorfismo de orden es también un homeomorfismo con respecto a las topologías del subespacio heredadas de $\mathbb{R}$ . En particular, existe un homeomorfismo $P\to\mathbb{Q}$ . Compuesto esto con el mapa de inclusión $N\to P$ entonces da una inyección continua $N\to\mathbb{Q}$ .

Answer 2

Si $\mathbb N$ tiene la topología discreta, cualquier mapa $f\colon\mathbb N\to X$ , donde $X$ es un espacio topológico, será continua.

Answer 3

Sin embargo, su tarea principal es mucho más fácil de probar. Considere un subconjunto contable $N\subset \mathbb{R}$ y algunos $x<y \in N$ . Entonces existe $z\in (x,y)$ tal que $z\notin N$ porque $N$ es contable. Ahora puedes dividir fácilmente $N$ en dos subconjuntos relativamente abiertos intersectándolo con $(-\infty,z)$ et $(z,\infty)$ . Si quiere seguir con su táctica anterior, intente encontrar un sujeción (sólo entonces se desconecta la imagen) en algún conjunto más simple (no tiene que estar totalmente desconectado).