¿Cuándo $n$ brecha $a^d+1$?

Question

$\newcommand{\ord}{\operatorname{ord}}$

Para qué valores de a $n$ $n$ brecha $a^d+1$ donde $n$ $d$ son enteros positivos?

Aparentemente $n$ no puede dividir a $a^d+1$ si $\ord_n a$ es impar.

Si $n\mid (a^d+1)\implies a^d\equiv -1\pmod n\implies a^{2d}≡1\pmod n \implies\ord_na\mid 2d$ pero $\nmid d$.

Por ejemplo, supongamos $a=10$, el factor(f)de la s $(10^3-1)=999$ tal que $\ord_f10=3$ $27,37,111,333$ $999$ sí. Ninguno de estos debe dividir $10^d+1$ para algunos entero $d$.

Por favor rectificar mí si hay algún error.

Es alguien consciente de que la mejor fórmula?

Answer 1

Hay varios útiles de bits de información que se puede deducir acerca de los factores de enteros de la forma $\rm\:b^n\pm 1.\:$ Un buen lugar para aprender acerca de los tales es Wagstaff la espléndida introducción a la Cunningham Proyecto, cuyo objetivo es factor de números de la forma $\rm\:b^n\pm 1.\:$ Allí encontrará menciona no sólo a los resultados anteriores, tales como la de Legendre (primitivo divisores de $\rm\:b^n\pm 1\:$$\rm\,\equiv 1\pmod{2n},$, pero también nuevos resultados, por ejemplo, las personas que explotan a cyclotomic factorizations. por ejemplo, véase a continuación.

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A menudo el número de identidades son más lúcida considerarse como casos especiales de la función o el polinomio de identidades. Por ejemplo, Aurifeuille, Le Lasseur y Lucas descubrió los llamados Aurifeuillian factorizations de cyclotomic polinomios $\rm\;\Phi_n(x) = C_n(x)^2 - n\ x\ D_n(x)^2\;$. Estas juegan un papel en la factorización de números de la forma $\rm\; b^n \pm 1\:$, cf. el Cunningham Proyecto. A continuación son algunos de los ejemplos de tales factorizations (por ejemplo, véase a continuación).

$$\begin{array}{rl} x^4 + 2^2 \quad=& (x^2 + 2x + 2)\;(x^2 - 2x + 2) \\\\ \frac{x^6 + 3^2}{x^2 + 3} \quad=& (x^2 + 3x + 3)\;(x^2 - 3x + 3) \\\\ \frac{x^{10} - 5^5}{x^2 - 5} \quad=& (x^4 + 5x^3 + 15x^2 + 25x + 25)\;(x^4 - 5x^3 + 15x^2 - 25x + 25) \\\\ \frac{x^{12} + 6^6}{x^4 + 36} \quad=& (x^4 + 6x^3 + 18x^2 + 36x + 36)\;(x^4 - 6x^3 + 18x^2 - 36x + 36) \\\\ \end{array}$$