¿Puede una forma unidimensional tener volumen?

Question

Hoy he decidido que voy a intentar generalizar una fórmula para hallar el área y el volumen de un hipercubo. Las fórmulas que se me ocurrieron son las siguientes:

$n$ = número de dimensiones

$L$ = longitud del lado

Superficie = $2nL^{n-1}$

Volumen = $L^n$

Así que, naturalmente, decidí hacer una tabla de superficie y volumen de los hipercubos, y utilizando la fórmula, descubrí que el volumen de una forma unidimensional es dos. Esto parece ilógico, pero, de nuevo, para mí es difícil conceptualizar las cosas en otras dimensiones que no sean 2 o 3.

¿Puede alguien ayudarme en esto, y quizás actualizar mis fórmulas si es necesario?

Edito: He resuelto lo de la unidimensionalidad, pero ahora tengo problemas con la superficie en dos dimensiones. Si $L = 2$ entonces no debería $A = 4$ ? Sólo obtengo 8 utilizando la ecuación.

Answer 1

Esta es la tabla de valores para $L = 1, 2$ y $n = 1, 2, 3$ . $$\begin{array}{c|c|c|c} L & n & \mbox{Area} = 2nL^{n-1} & \mbox{Volume} = L^n & \\\hline 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & 1 \\ 1 & 3 & 6 & 1 \\ 2 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 8 & 4 \\ 2 & 3 & 24 & 8 \\ 3 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 12 & 9 \\ 3 & 3 & 72 & 27 \\ \end{array} $$

Así, por ejemplo, con $L = n = 2$ (el caso en su "Edición") se obtiene una superficie de $8$ porque la suma de las longitudes de los $4$ lados de un cuadrado con longitud de lado $2$ est $8$ .

Obsérvese que las superficies cuando $n = 1$ hay que tomarlo con una pizca de sal - estamos pretendiendo por conveniencia que el $0$ -de un punto es $1$ .